從函數視角解決數列問題

數列是一類定義在正整數集或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的特殊函數，可見，任何數列問題都蘊含著函數的本質及意義，具有函數的一些固有特征.另外，數列與函數的綜合也是當今高考命題的重點與熱點，因此我們在解決數列問題時，應充分利用函數有關知識，以它的概念#65380;圖像#65380;性質為紐帶，架起函數與數列間的橋梁，揭示了它們間的內在聯系，從而有效地分解數列問題.

一#65380;以函數概念為載體，合理消化數列問題

設計意圖 通過對數列中的通項公式，前n項和公式等這些特殊函數關系的概念的理解與分析，引導學生充分認識an與n，Sn與n之間的對應關系，從而合理地找到解決問題的辦法.

例1 (1997年上海市高考試題)設f(n) = + + … +(n ∈ N)，則 f(n + 1) - f(n)等于( ).

點撥 此題從形式上看是考查學生對數列的通項的意義的理解，但事實上更側重于對函數符號及對應關系的考查，解決它的關鍵在于如何引導學生對函數f(x) = + + + … +的概念的本質的理解，即如何正確表示f(x + 1)，從而得出答案D.

例2 (1999年全國高考試題)已知函數y = f(x) 的圖像是自原點出發的一條折線，當n ≤ y ≤ n + 1(n = 0，1，2，…)時，該圖像是斜率為bn的線段(其中正常數b ≠ 1)，設數列{xn}，由f(xn) =n(n = 1，2，…)的定義，求x1，x2，和xn 的表達式.

點撥 本題是集函數概念#65380;直線斜率#65380;數列等知識于一體的綜合問題，具有高度的抽象性，要求學生掌握歸納#65380;推理#65380;綜合等基本能力，同時能合理運用數形結合思想直觀簡化問題，解決它的關鍵是如何通過斜率把函數的兩個變量有機結合起來，再根據兩者的對應關系反映到數列{xn}的遞推關系中.

即= bn - 1(n = 1，2，…)，其中x0= 0，則xn - xn - 1 =，且 x1 =，可求得 x2 = 1+，由遞推關系通過累加得 xn =.

二#65380;以函數圖像為工具，直觀簡化數列問題

設計意圖 函數圖像是函數特征的直觀體現，利用圖像解決數學問題(以形助數)是我們在解決問題中經常采用的手段.在數列中，我們可以利用等差數列通項公式#65380;前n項和公式及等比數列的通項公式中展示的圖像關系來解決問題，常常會起到意想不到的效果.

例3 在等差數列{an}中，Sn 是其前n項和，公差為 d ≠ 0.

(1) 若 an = m， am = n(m≠n)，求am + n .

(2) 若Sm = Sn(m≠n)，求Sm + n .

點撥 (1)由an = a1 + (n - 1)d = dn + (a1 - d)可知:an 是關于n的一次式，則三點(m，am)#65380;(n，an)#65380;(m + n，am+n )共線，根據任意兩點斜率相等得am + n = 0.

(2) 由Sn = na1 + = n2 + a1 -n可知:sn 是關于n的二次式，且無常數項，令f(x) = x2 + a1 -x，由 Sm= Sn 得f(m) = f(n)，則 x = 為此二次函數圖像的對稱軸，因此 f(m + n) = f(0) = 0，即 Sm + n = 0.

另解 由Sn = n2 + a1 -n，得=n + a1 -可知: an是關于n的一次式，則三點m，，n，，m + n， -共線，易求Sm + n = 0 .當然此題可以用其他很多方法來解決，但是我們從中不難發現利用函數圖像直觀簡便.

例4 (2000年成都市診斷性試題)已知等差數列 {an}，公差為d，等比數列{bn}，公比為q(q > 1)，若a2 = b2 = 2，a4 = b4 .

(1) 比較a1 與b1，a3與b3的大小;

(2) 猜想并證明an 與bn (n ≥ 5)的大小關系.

點撥 由題意知an = 2 +(n - 2)d = dn + 2 - 2d， bn= 2qn-2 . 根據函數y = 2qx-2 與y = dx + 2 - 2d的圖像可知，在x = 2與x = 4處有兩個公共點，則a1 < b1，a3 > b3，并可判斷當n ≥ 5時有an < bn ，再可結合比較法及數學歸納法證明.

三#65380;以函數性質為手段，有效分化數列問題

設計意圖 函數性質是函數特征的顯性反映，深入挖掘并利用函數的性質可以大大簡化解題過程，收到

較好的解題效果.如函數的單調性#65380;周期性等性質在數列中應用很廣泛，通過下面這些問題的分析，不但可以使學生進一步鞏固函數的性質，而且可以讓學生提高解決數列問題的視野.

例5 (2000年北京西城區抽樣測試題)已知數列{an}是以a為首項，a為公比的等比數列(a > 0，a ≠ 1)，令bn = an lgan，若{bn}中每一項總小于它后面的項，求a的范圍.

點撥 由已知得an = an ，則bn = naa lga，又bn+1 > bn ，則nlga <(n + 1)alga.

(1) 當a > 1時，a >顯然成立.

(2) 當0 < a < 1時a <，令f(x) = ，則 f(x)在(0，+∞)上是增函數，則 min = ，(n∈N)，因此0 < a <.

總之，符合條件的a的范圍是a > 1或0 < a <.

此題意在尋找遞增數列的條件，通過轉化歸結為恒成立類型的問題，再利用函數的單調性求出最小值，從而得到結果.

例6 已知數列{an}滿足an+2 = an+1 - an，a1 = 1，a2 = 2，求s2005 .

點撥 令f(n) = an，則f(n + 2) = f(n + 1) - f(n). 若函數f(x)滿足f(x + 2) = f(x + 1) - f(x)，則 f(x + 3) = f(x + 2) - f(x + 1)，相加得f(x + 3) = -f(x)，則f(x + 6)= -f(x + 3)，因此 f(x) = f(x + 6)，即函數y = f(x)的周期為6，則易求f(x) + f(x + 1) + f(x + 2) + f(x + 3) + f(x + 4) + f(x + 5) = 0，所以s2005 = a1 + … + a2005 = a1 = 1.

本題是通過變量間規律的探求，發現存在周期性，這樣在大大簡化了解題過程的同時，很好地培養了學生的思維能力.

四#65380;以構造函數為途徑，巧妙轉化數列問題

設計意圖 構造函數解決數學問題是函數思想中的中心所在，其實質是把所求問題轉化為以函數為背景的問題，再利用函數的有關概念#65380;圖像#65380;性質來幫助解決，這樣有利于培養學生的數學思想方法與解題能力.

例7 (1995年全國高考試題)設{an}是由正數組成的等比數列，Sn是其前n項和.

(1) 證明: < lg sn+1;

(2) 是否存在常數c > 0使得< lg(sn+1 - c)成立?并證明.

點撥 (1)設f(x)=snx2 + 2sn+1x + sn+2，下證其圖像與x軸有兩個不同的交點，顯然Sn > 0，故其開口向上，令它的公比為q，當q = 1時，f(x) = a1(nx + n + 2)(x + 1);當0 < q < 1時，f(-1) = sn - 2sn+1 + sn+2 = an+1(q - 1)<0;當q > 1時，f(-q) = snq2 - 2sn+1q + sn+2 = a1(1 - q)< 0.因此其圖像與x軸必有兩個不同的交點，則對應方程的判別式Δ = 4(s2n+1 - snsn+2) > 0，即s2n+1 > snsn+2，兩邊取常用對數即可.對于(2)可通過考察f(x) = (sn - c)x2 + (2sn+1 - c)x + (sn+2 - c)來完成.

通過上述實例的分析與說明，我們可以發現，在數列的教學中，應重視函數思想的滲透，應該把函數概念#65380;圖像#65380;性質有機地融入到數列中，通過數列與函數知識的相互交匯，使學生的知識網絡得以不斷優化與完善，同時也使學生的思維能力得以不斷發展與提高.另外，對上述問題還有許多其他的解法，應注意引導與發散.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”