三角函數(shù)中不容忽視的隱含條件

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，但是由于內(nèi)容繁雜，公式多且性質(zhì)靈活，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)如果只憑明顯的幾個(gè)條件去解，就很容易造成解題的錯(cuò)誤，究其原因，忽視了題設(shè)或變形中的隱含條件.本文通過(guò)對(duì)典型例題

的剖析，幫助同學(xué)們?cè)鰪?qiáng)挖掘隱含條件的意識(shí)，提高應(yīng)變與解題能力.

一#65380;條件隱含在角的范圍中

例1 在△ABC中，已知cos A =，sin B =，求 cosC的值.

錯(cuò)解 因?yàn)锳，B，C是三角形的內(nèi)角，

由cos A =，可得sin A =;

由sin B =，可得cos B = ± ，

∴cos C = -cos(A + B) = -cos Acos B + sin Asin B =或.

評(píng)析 因?yàn)锳，B，C是三角形的內(nèi)角，所以0 < A，B，C < π，且由0 < cos A = <，可得< A<; 由0 < sin B = <，可得0 < B<或< B<π. 又因?yàn)? < A + B < π，只能有0 < B <，從而cos B =，cos C = .

本題也可以由cos A =A∈(0，π)得到sin A =. ∵ sin A > sin B，由正弦定理，得=，得到a > b. 再由三角形中大邊對(duì)大角得A > B，∴ B必為銳角，cos B =，cos C = .

二#65380;條件隱含在函數(shù)值的范圍中

例2 若3sin2α + 2sin2β = 2sin α，則sin2α + sin2β的取值范圍是 .

錯(cuò)解 ∵ 3sin2α +2sin2β = 2sin α，∴ sin2α + sin2β = sin2α +(2sin α - 3sin2α) = - (sinα - 1)2 +.

∵ sin α∈[1-，1]，∴ sin2α + sin2β∈- ， .

評(píng)析 由3sin2α + 2sin2β = 2sin α得2sin α - 3sin2α = 2sin2β∈[0，2]，即0 ≤ 2sin α - 3sin2α ≤ 2，∴ sin α∈0，， ∴sin2α + sin2β = - (sin α - 1)2 +∈0，.

三#65380;條件隱含在函數(shù)定義域中

例3 判斷函數(shù)y =的奇偶性.

錯(cuò)解 y = =

= tan .

故所求函數(shù)是奇函數(shù).

評(píng)析 本題在化簡(jiǎn)過(guò)程中分子分母同時(shí)除以了sin+ cos ，使定義域擴(kuò)大了，原定義域?yàn)閧x|x∈R，且x ≠ 2kπ + π，x ≠ 2kπ -，k∈Z}，變形后定義域擴(kuò)大為{x|x∈R，且x ≠ 2kπ + π，k∈Z}，而原定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

四#65380;條件隱含在公式變形過(guò)程中

例4 已知sin2α + sin2β + cos(α-β) = 2，求sin α + sin β的取值范圍.

錯(cuò)解 令t= sinα + sin β，則t2 = sin2α + sin2β + 2sinαsinβ.①

又sin2α + sin2β + cos(α - β) = 2， ②

由① ②得:

t2 = 2sin αsin β - cos(α - β) + 2 = -cos(α+ β) + 2.

∴1 ≤ t2 ≤ 3， ∴-≤ t ≤ -1或1 ≤ t ≤.

評(píng)析 由已知cos(α - β)=2- sin2α - sin2β = 2- - = 1 +(cos2α + cos2β)= 1 +{cos[(α + β) + (α - β)] + cos[(α + β) - (α - β)]} = 1 +[cos(α + β)cos(α - β) - sin(α + β)sin(α - β) + cos(α + β)cos(α - β) + sin(α + β)sin(α - β)] = 1 + cos(α + β)cos(α - β).

∴ cos(α - β)[1-cos(α + β)] = 1.

∵ 1 - cos(α + β)≥0，∴0 < cos(α - β) ≤ 1，

∴ 1 - cos(α + β) ≥1，-1 ≤ cos(α + β)≤ 0，

∴ t2 = 2 - cos(α + β)∈[2，3]，

∴ -≤ t ≤- 或 ≤ t ≤ .

本題在條件中隱含了-1 ≤ cos(α + β)≤ 0，故在三角變形中不挖掘出這個(gè)條件就會(huì)造成錯(cuò)誤.

五#65380;條件隱含在判別式中

例5 已知f(x) = 8x2 - 6kx + 2k + 1，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)k，使得方程f(x) = 0 的兩個(gè)根是直角三角形兩個(gè)銳角的正弦值.

錯(cuò)解 設(shè)直角三角形兩個(gè)銳角分別為α，- α，則

sin α + sin- α =，sin αsin- α =，

即sin α + cos α =，sin αcos α =.

又sin2α + cos2α + 2sin αcos α = ，

故1 + =，則k = 2或k = - ，

∴存在實(shí)數(shù)k = 2或k = - ，符合題意.

評(píng)析 本題忽略了隱含在題目中的方程有實(shí)根這一條件，即根據(jù)Δ ≥ 0可知k = 2或k = - 均不符合，故不存在實(shí)數(shù)k符合題意.

從上述各例中我們可以看到所謂隱含條件，是指題中若明若暗，含蓄不露的條件，它們常常巧妙地隱蔽在題設(shè)的背后，不易被人們所覺(jué)察，或極易被人忽視，而直接制約整個(gè)解題過(guò)程和解題結(jié)果. 忽視了隱含條件，會(huì)導(dǎo)致各種錯(cuò)解. 因此在三角解題中，要養(yǎng)成認(rèn)真審題，周密思考，善于捕捉題目中的“蛛絲馬跡”，不斷增強(qiáng)洞察和顯化隱含條件的能力，只有這樣才能提高解題的正確率.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文#65377;”