排列組合中元素可辨與元素不可辨問(wèn)題例析

中學(xué)數(shù)學(xué)中的排列組合是一類(lèi)思考方法較為獨(dú)特的問(wèn)題，它對(duì)分析能力的要求較高，其解法也非常靈活，對(duì)元素可辨與不可辨問(wèn)題容易出錯(cuò).因此，認(rèn)真審題，分清元素可辨與不可辨對(duì)正確解答至關(guān)重要.下面結(jié)合幾個(gè)例子談?wù)勁帕薪M合問(wèn)題中元素可辨與不可辨的辨析.

一#65380;分組與分配中的元素可辨與不可辨問(wèn)題

例1 6名同學(xué)分到3個(gè)班，每班至少1人，有多少種不同的分法?

解析 本題中6名同學(xué)和3個(gè)班都是不同的元素，是可辨的. 要每班至少1人，分三類(lèi):

第一類(lèi):一組4人，其余兩組各1人. 先分組再分配: A = 90(種).

第二類(lèi):每組均為2人，先分組再分配:

A = 90(種).

第三類(lèi):一組1人，一組2人，一組3人. 先分組再分配:CCCA = 360(種).

所以6名同學(xué)分到3個(gè)班，每班至少1人，共有90 + 90 + 360 = 540種不同的分法.

例2 某校高一年級(jí)6個(gè)班，現(xiàn)要從中選出10人組成高一女子籃球隊(duì)參加高中籃球比賽，且規(guī)定每班至少要選1人參加，這10個(gè)名額有多少種不同的分配方法?

解析 本例中，要得到的只是10名運(yùn)動(dòng)員，關(guān)心的是數(shù)量，至于每班選誰(shuí)，如何選，與題中的要求無(wú)關(guān)，因此，問(wèn)題中要分配的元素是不可辨的，可用隔板法求解. 所以滿足條件的分配方法共有C =126(種).

二#65380;相鄰與不相鄰中的元素可辨與不可辨問(wèn)題

例3 一條長(zhǎng)椅上有七個(gè)座位，四人坐，要求三個(gè)空位中有兩個(gè)空位相鄰，另一個(gè)空位與這兩個(gè)相鄰空位不相鄰. 共有幾種坐法?

解析 雖然空位是不可辨的，但題中要求三個(gè)空位中有兩個(gè)空位相鄰，另一個(gè)空位與這兩個(gè)相鄰空位不相鄰，那么以一個(gè)空位為一個(gè)元素，另兩個(gè)相鄰空位為一個(gè)元素，這兩個(gè)元素是可辨的，所以此問(wèn)題是用四個(gè)人把兩個(gè)元素隔開(kāi)的典型問(wèn)題. 就可先讓四個(gè)人坐在四個(gè)位置上，再讓后兩個(gè)“元素”(一個(gè)是作為一個(gè)整體的兩個(gè)相鄰空位，另一個(gè)是單獨(dú)的空位)選擇被四個(gè)人造成的五個(gè)“空隙”中的兩個(gè)，即有 AA= 480(種).

例4 用1，2，3，4，5，6，7，8組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有多少個(gè)?

解析 因?yàn)?與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，所以將1與2，3與4，5與6捆綁，看成三個(gè)元素，有A種排法，1與2之間，3與4之間，5與6之間各有A種排法，而7與8不相鄰，有A種排法，那么這樣的八位數(shù)共有AAAAA = 576(種).

注意例3中兩個(gè)空位捆綁與例4中的兩個(gè)數(shù)字捆綁是不一樣的，空位捆綁元素不可辨，數(shù)字捆綁元素可辨.

例5 馬路上有十盞路燈，為了節(jié)約用電可關(guān)掉三盞路燈，但兩端兩盞不能關(guān)掉，也不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，這樣的關(guān)燈方法有多少種?

解析 可以假定已有7盞路燈亮著，因?yàn)殛P(guān)掉的三盞路燈不在兩端，也不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，故從亮著的這7盞路燈中間的6個(gè)空中取3個(gè)空插入3盞路燈，這3盞路燈只有“息”一個(gè)狀態(tài)是不可辨元素，所以共有C = 20(種).

三#65380;定序問(wèn)題中的元素可辨與不可辨問(wèn)題

例6 某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要先后單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，又工程丁必須在工程乙完成后立即進(jìn)行，那么安排這6項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是多少?

解析 將丁#65380;丙看做一個(gè)元素，雖然甲#65380;乙#65380;丙#65380;丁順序一定，但元素是可辨的，考慮余下的兩個(gè)工程，類(lèi)似五個(gè)位置選兩個(gè): CA= 20(種).

例7 今有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有多少種不同的方法?

解析 2個(gè)紅球之間，3個(gè)黃球之間，4個(gè)白球之間是不可辨，所以9個(gè)球排成一列，要除以A AA.

所以共有= 1260(種).

四#65380;盒子放球問(wèn)題中的元素可辨與不可辨

例8 將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)，則不同的放球方法有().

A. 10種 B. 20種C. 36種 D. 52種

解析 4個(gè)球的顏色不同，元素是可辨的，就要定向分配. 所以，滿足條件的放法有“2，2”及“1，3”.

即CC + CC=10(種).

例9 有編號(hào)為1，2，3的3個(gè)盒子和10個(gè)相同的小球，現(xiàn)把這10個(gè)小球全部裝入3個(gè)盒子中，使得每個(gè)盒子所裝球數(shù)不小于盒子的編號(hào)數(shù)，這種裝法共有( ).

A. 9種 B. 12種 C. 15 種 D. 18種

解析 10個(gè)相同的球，元素是不可辨的，先保證每個(gè)盒子中的球數(shù)等于盒子的編號(hào)數(shù)，還剩4個(gè)小球，此題就轉(zhuǎn)化為將4個(gè)相同的小球放入有編號(hào)為1，2，3的3個(gè)盒子中，求一共有多少種裝法的問(wèn)題.

可以分為以下幾種情況完成:

第一類(lèi):4，0，0有C種方法;

第二類(lèi):3，1，0有A 種方法;

2，2，0有C種方法;

第三類(lèi):2，1，1有C種方法;

共有3 + 6 + 3 + 3 = 15(種).

在以上的各類(lèi)問(wèn)題中，看似類(lèi)似的題型，其實(shí)解法是不一樣的，要注意題中所給元素是可辨的還是不可辨的，把握條件和結(jié)論的聯(lián)系，以探求解題思路或優(yōu)化解題過(guò)程的思想.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文#65377;”