一元三次函數ｆ（ｘ）＝ａｘ^３＋ｂｘ^２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠０）的圖像和性質

一元三次函數是高中階段學習的最后一種新型函數，在人教版現行高中《數學》教材第三冊(選修(Ⅰ)(Ⅱ))中對一些具體的一元三次函數的單調區間和極值進行了討論，但沒有對一般的一元三次函數的圖像和性質做系統的講解，而一元三次函數在高考中的地位是毋庸置疑的，每年都可以見到以一元三次函數為背景的函數綜合題.還有，在教學實踐中發現，許多同學對一元三次函數的圖像#65380;性質等了解不全面，因此對于比較綜合的函數題的解決也就難于突破.為了解決這一問題，筆者在教學實際中大膽嘗試，在學生學習了導數的應用之后向學生系統地介紹了一元三次函數的圖像和性質，收到很好的效果.在此，筆者將自己對一元三次函數的教學內容進行整理#65380;歸納，希望對大家的教學有所幫助.

一#65380;實例研究

討論下列一元三次函數的單調區間#65380;極值，并畫出它們的簡圖.

(1) f(x) = x3 - x2 - 5x - 3;

(2) f(x) = - x3 + x2 + 4x - 3;

(3) f(x) =x3 -x2 -x - 2;

(4) f(x) = 2x3 - 3x2 + 6x - 5;

(5) f(x) = -x3 + 6x2 - 12x + 8.

分析(1) 由f′(x) = 3x2 -2x - 5 = 0得x = -1或x = .

∴ 當x < -1或x >時，f′(x) > 0;

當 -1 < x <時，f′(x) < 0.

∴ f(x)在(-∞，-1)∪ ，+∞上單調遞增，在-1， 上單調遞減，從而有x = -1時，f(x)有極大值f(-1) = 0，x =時，f(x)有極小值f= - ，f(x)

的圖像如圖1所示.

(2) 由f′(x) = -2x2 + 2x + 4 = 0得x = -1或x = 2 .

∴當-1 < x < 2時，f′(x) > 0;

當x < -1或x > 2時，f′(x) < 0.

∴ f(x)在(-∞，-1)∪2，+∞上單調遞減，在(-1，2)上單調遞增，從而有x = -1時，f(x)有極小值f(-1)=- ，x = 2時，f(x)有極大值f(2)= ，f(x)的圖像如圖2所示.

(3) 由f′(x) =x2 -x - = 0得x = -1或x = 2.

∴當x < -1或x > 2時，f′(x) > 0;

當-1 < x < 2時，f′(x) < 0，

∴ f(x)在(-∞，-1)∪(2，+∞)上單調遞增，在(-1，2)上單調遞減，從而有x = -1 時，f(x)有極大值f(-1) = - ，x = 2時，f(x)有極小值f(2) = - ，f(x)的圖像如圖3所示.

(4) 由 f′(x) = 6x2 - 6x + 6 = 6(x2 - x + 1) > 0 知f(x)在(-∞，+∞)上單調遞增，沒有極值，它的圖像如圖4所示.

(5) 由 f′(x) = -3x2 + 12x - 12 = -3(x - 2)2 ≤ 0知f(x)在(-∞，+∞)上單調遞減，沒有極值，它的圖像如圖5所示.

二#65380;歸納結論

由上述例題可以看出一元三次函數f(x) = ax3 + bx2 + cx + d(a ≠ 0)的圖像和性質主要是依據其導函數 f′(x)= 3ax2 + 2bx + c的符號來討論的，而 f′(x) 的符號取決于f′(x) = 0的根的判別式Δ = 4(b2 - 3ac)，由此可以歸納出如下結論.

1. 圖像歸類

一元三次函數的圖像大致可以分為如下六種類型:

2. 極值及單調規律

(1) 若a > 0，b2 - 3ac > 0，那么f(x)有極大值與極小值，并且在極值點的兩邊單調遞增，在極值點的中間單調遞減;

(2) 若a < 0，b2 - 3ac < 0，那么f(x)有極大值與極小值，并且在極值點的兩邊單調遞減，在極值點的中間單調遞增;

(3) 若a > 0，b2 - 3ac ≤ 0，那么f(x)沒有極大極小值，在(-∞，+∞)上遞增;

(4) 若a < 0，b2 - 3ac ≤ 0，那么f(x)沒有極大極小值，在(-∞，+∞)上遞減.

3. 圖像與x軸的交點

(1) 圖像與x軸有三個交點的充要條件是:b2 - 3ac > 0，且y極大值#8226;y極小值 < 0;

(2) 圖像與x軸有兩個交點的充要條件是:b2 - 3ac > 0，且y極大值#8226;y極小值 = 0;

(3)圖像與x軸有一個交點的充要條件是:b2 - 3ac > 0，且y極大值#8226;y極小值 > 0或 b2 - 3ac ≤ 0.

三#65380;應用舉例

例1 (2005高考全國卷(Ⅱ))設a為實數，函數f(x) = x3 - x2 - x + a.

(Ⅰ) 求f(x)的極值;

(Ⅱ) 當a在什么范圍取值時，曲線y = f(x)與x軸僅有一個交點.

解 (Ⅰ)令f′(x) = 3x2 - 2x - 1 = 0得x1 =，x2 = 1.

又∵當x∈-∞，- 時，f′(x) > 0;

當x∈- ，1時，f′(x) < 0;

當x∈(1，+∞)時，f′(x) > 0，

∴ x1 = - 與x2 = 1分別為f(x)的極大值與極小值點，從而有f(x)極大值 = f-= a +;f(x)極小值 = f(1) = a - 1.

(Ⅱ) ∵ f(x)在-∞，- 上單調遞增，

∴當x→-∞ 時，f(x) → -∞.

又f(x)在(1，+∞)上單調遞增，當x → +∞時，f(x) → +∞，

∴y極大值#8226;y極小值> 0時，曲線y = f(x)與x 軸僅有一個交點，即a +(a - 1) > 0，

∴ a∈-∞，- ∪(1，+∞).

例2設函數f(x) = x(x - 1)(x - a)(a > 1).

(1)證明:f(x)有兩個不同的極值點x1，x2;

(2) 若不等式f(x1) + f(x2) ≤ 0成立，求a的取值范圍.

(1) 證明:f′(x) = 3x2 - 2(1 + a)x + a.

令f′(x) = 0得方程3x2 - 2(1 + a)x + a = 0.

因為 Δ= 4[(1 + a)2- 12a] = 4(a2 - a + 1) = 4a -2 + > 0，

所以方程有兩個不同的實數根x1，x2，不妨設x1 < x2，由f′(x) = 3(x - x1)(x - x2)得:

當x < x1時，f′(x) > 0;當x1 < x < x2時，f′(x) < 0;當x > x2時，f′(x) > 0.

因此x1是極大值點，x2是極小值點.

(2) 不等式f(x1) + f(x2)≤0可化為x13 + x23 - (1 + a)(x12 + x22) + a(x1 + x2) ≤ 0.

即(x1 + x2)[(x1 + x2)2 - 3x1x2]-(1 + a)[(x1 + x2)2 - 2x1x2] + a(x1 + x2) ≤ 0.

又由(1)知:x1 + x2 =(1 + a)，x1x2 =. 代入上述不等式，并兩邊除以(1 + a)，整理得2a2 - 5a + 2 ≥ 0，解得a ≥ 2或a ≤(不合題意，舍去).

因此，當a ≥ 2時，不等式f(x1) + f(x2) ≤ 0成立.

例3 已知:函數f(x) = x3 - ax2 - 3x在 x = -處取得極值.

(Ⅰ)求實數a的值;

(Ⅱ)若函數g(x) = -7x + c與函數f(x)的圖像恰好有三個不同的交點，求實數a的取值范圍.

解 (Ⅰ) f′(x) = 3x2 - 2ax - 3.

依題意，f′= 0即+a - 3 = 0，∴ a = 4.

(Ⅱ)函數g(x) = -7x + c與函數f(x)的圖像恰好有三個交點，即方程x3 - 4x2 + 4x - c = 0恰有三個不等實根.

令F(x) = x3 - 4x2 + 4x - c，則F′(x) = 3x2 - 8x + 4，令F′(x) = 0，得x1 = 2，x2 =.當x變化時，F′(x)，F(x)， 的變化情況如下表:

因此，當x =時，F(x)取極大值 = - c;

當x = 2時，F(x)取極小值 = -c.

要F(x)的圖像與x軸有三個不同的交點，必有:F(x)極大值#8226;F(x)極小值 < 0.

即-c#8226;- c < 0，c#8226;c - < 0，

∴ 0 < c <.

四#65380;鞏固提高

1. 若函數f(x) =x3 - bx2 + c(b，c為常數)，當x = 2時函數f(x)取得極值.

(1) 求b的值;

(2) 若函數f(x)的圖像與x軸有且只有三個交點，求實數c的取值范圍.

2. 設函數f(x) = 2x3 - 3(a + 1)x2 + 6ax - 4，其中 a∈R.

(1) 若函數f(x)沒有極值，求實數a的取值范圍;

(2) 若曲線f(x)與x軸有且只有兩個公共點，求a的值.

3. (2004年全國高考天津卷)已知函數f(x) = ax3 + cx + d(a ≠ 0)是R上的奇函數，當x = 1時f(x)取得極大值-2.

(1) 求f(x)的單調區間和極值;

(2) 證明對任意的x1，x2∈(-1，1)，不等式|f(x1) - f(x2)| < 4恒成立.

4. 已知函數f(x) = x3 + 3ax2 + 3bx + c在x = 2處有極值，且其圖像在x = 1處的切線與直線6x + 2y + 5 = 0平行.

(1) 求函數f(x)的極大值與極小值的差;

(2) 若x∈[-1，4]時，不等式f(x) < c2 + 4恒成立，求實數c的取值范圍.

答案: 1.(1) b = 1;(2) 0 < c <.

2. (1) a = 1;(2) a = -1或a = 或a = 2 .

3. (1) a = 1，c = -3，f(x) 在(-∞，-1)和(1，+∞)上單調遞增，在(-1，1)上調遞減;f(x)極大值 = f(-1) = 2，f(x)極小值 = f(1) = -2 ;(2)略

4.(1) 4;(2) c ≤ -3或c ≥ 4 .

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”