廣義積分概念的探究

【摘要】 某些高校采用的教材上的兩種定義是有邏輯錯誤的. 某些教材上講:當極限不存在時，稱廣義積分發散.極限不存在時，何來廣義積分?既是廣義積分又何來發散?

【關鍵詞】 廣義積分 收斂 發散

廣義積分是高等數學中的基本概念，但有不同方式的定義，這里就無窮區間上的積分談談粗淺的看法.

方式一 函數的廣義可積性:若函數f(x)于每一個有窮區間[a，b]上依尋常的意義是可積分的，則可定義: f(x)dx = f(x)dx.

若極限存在，則對應的積分稱為收斂的;

若極限不存在，則稱為發散的.

方式二 設函數f(x)在區間[a，+∞)內，也即對x≥a有定義，并且在其任何有限部分[a，A]內可積分，如此積分， f(x)dx在任何A > a下有意義.

這個積分在A→+∞時的有限或無限極限叫做函數f(x)在區間[a，+∞)內的(非正常)積分. 并且用下面的記號表示:

f(x)dx = f(x)dx.(1)

在這種有限極限存在時，我們說積分(1)收斂而函數f(x)稱為在無限區間[a，+∞)內可積分.為了與早先所講的正常意義的積分或正常積分區別開來，剛才下定義的積分(1)叫非正常積分.如果極限(1)無限或根本不存在，則說該積分發散.

方式三 設a為一個常數，f是一個函數，并且對于每一個實數N≥a， f(x)dx存在. 這時，我們定義反常積分 f(x)dx = f(x)dx(倘若上式右方的極限存在).

如果 f(x)dx存在并且是有窮的，我們則說這個反常積分是收斂的.

如果上式中的極限不存在或者雖然存在，但為無窮，則稱這個反常積分發散.

方式四 設函數f(x)在[a，+∞)上有定義，并且對任何A > a，f(x)在[a，A]上可積，如果極限:f(x)dx = I存在，那么，我們說f(x)在無窮區間[a，+∞)上的積分(無窮限的積分)收斂，并且它的值就是I，即 f(x)dx = I .

我們也說f(x)在[a，+∞)上的廣義積分存在，如果極限不存在，我們說f(x)在[a，+∞)上的廣義積分 f(x)dx發散，或不存在.

方式五 設函數f(x)在區間[a，+∞)上連續，取b > a，如果極限f(x)dx 存在，則稱此極限叫做函數f(x) 在無窮區間[a，+∞)上的廣義積分，這時也說廣義積分 f(x)dx收斂;如果上述極限不存在，就說廣義積分 f(x)dx發散，這時雖然用同樣的記號，但已不是數值了.

方式六 設函數f(x)在區間[a，+∞)上連續，取b > a，則稱f(x)dx為f(x)在[a，+∞)上的廣義積分，記為 f(x)dx = f(x)dx.

若上述極限存在，則稱廣義積分 f(x)dx存在或收斂;若上述極限不存在，則稱廣義積分 f(x)dx不存在或發散.

從以上六種方式可以看出定義方式并不是等價的:

1. 方式一#65380;二#65380;三#65380;四僅要求函數f(x)在有限區間 [a，A]上可積分，方式五#65380;六卻要求函數在[a，+∞)上連續.

2. 方式一沒有明確的廣義積分定義;方式二明確當A→∞時， f(x)dx的極限為有限或無限時是廣義積分，極限不存在時不是廣義積分，不存在時稱“該積分發散”;方式三極限符號也要求極限存在，可理解為極限存在時稱為廣義積分;方式四則稱極限存在時廣義積分收斂，極限不存在時廣義積分發散. 言下之意，極限存在或不存在都稱廣義積分，不同的是收斂與發散的區別;方式六則無論極限是否存在都稱廣義積分，再說廣義積分收斂或發散的概念. 以上兩條，各方式顯然是有分歧的.

我認為方式五，即高校普遍采用的教材上的兩種定義是有邏輯錯誤的.當極限存在時稱此極限為函數的廣義積分，則廣義積分是一個極限，當然應該是一個常數.而當極限不存在時，稱廣義積分發散.

我們知道任何一個定義的各種方式都應該是等價的，不應該有不等價的情形，那么怎樣定義較好呢?以上六種都有缺陷，我們不妨采眾家之長，去各家之短.

定義 設函數f(x)在區間[a，+∞)上有定義，且對任意A > a，f(x)在區間[a，A]上可積，則稱極限f(x)dx 為f(x)在區間[a，+∞)上的廣義積分，記為 f(x)dx，則 f(x)dx = f(x)dx，若上述極限存在則稱廣義積分 f(x)dx收斂;若上述極限不存在或為無限，則稱廣義積分 f(x)dx發散.

這個定義就避免了對廣義積分是否存在的爭議，也就是說廣義積分都存在，不同的是有的廣義積分收斂，有的廣義積分發散.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”