用站排問題詮解排列問題

排列問題主要有在與不在、鄰與不鄰、至多與至少三大類問題，相應的處理方法是特殊優先、捆綁與插空、間接法等. 它的考查背景可以有很多，但不管以什么形式出現都可以等價于站排問題. 下面我們用計算不同條件下的站排問題的不同處理方法來領會排列問題該如何處理.

題目 ７個人站排.

１. 共有多少種站法？

解 是７個元素的全排列，故有a 種.

２. 前排３人，后排４人.

解 可以分排處理有aa ；也可以等價于一排處理后的前三個人是站在前排，故有a 種.

３. 其中甲站在中間（某一固定位置）.

解 由于甲的位置已定，故只需排其他六人：a種.

４. 甲站中間，乙與甲相鄰.

解 甲的位置已定，乙只有甲的左右兩個位置可選，采用特殊元素優先處理的方法：aa種.

５. 甲、乙相鄰.

解 相鄰問題用捆綁，然后采用先整體后局部的處理方法：a a種.

６. 甲、乙不鄰.

解 不鄰問題先排其他元素再插空：aa種；也可以用間接法，從全排列里減去甲、乙相鄰的情況： a -a a種.

７. 甲、乙、丙三人相鄰：aa種.

８. 甲、乙、丙三人任何兩人不相鄰.

解 用插空法：aa種.

９. 甲、乙兩人之間至少有一人.

解 等價于甲、乙不鄰，解法同第６題.

１０. 甲、乙兩人之間恰有２人.

解 可以先將甲、乙及中間兩人捆綁整體排列然后再對局部處理：aaa 種.

也可以用填空格法，可得甲、乙的選位方式有四種，故有 aa a 種.

１１. 若７人中有４名男生和３名女生，并且相間排列.

解 插空法先排男生，但要求兩名男生中間必有一名女生，所以有aa種.

１２. 甲、乙、丙三人不全排在一起.

解 即至多有兩人排在一起，用間接法： a- aa種.

１３. 甲、乙不站排頭和排尾.

解 特殊元素優先處理：aa種.

１４. 甲、乙相鄰，丙不在排頭和排尾.

解 此題是鄰與不鄰和在與不在同時出現的問題，處理方法遵循各自的原則，對于丙不在排尾可以有三種處理方法：

方法一：甲、乙捆綁后去丙全排，再將丙插入：aaa種；

方法二：甲、乙捆綁后相當于共有６個元素，先排丙共４種排法，再排其他：aaa種.

方法三：甲、乙捆綁后相當于共有６個元素，先排排頭和排尾再排其他：aaa種.

１５. 甲、乙不在兩端又相鄰.

解 本題解法同１４題.

１６. 甲、乙、丙三人不在排頭且互相隔開.

解 插空法，插入甲、乙、丙時去掉排頭的位置：aa種.

１７. 甲不在排頭、乙不在排尾.

解 方法一：直接法，交叉分類：分甲在排尾和甲不在排尾兩種情況：a + aaa種.

方法二：間接法，從全排列中減去只考慮甲在排頭和乙在排尾的情況，再加上減重復的情況：a- 2a + a種.

１８. 甲不在排頭，乙不在排尾，并不在中間.

解 解法更適用１７題解法二：a- 3a + 3a - a種.

１９. 甲不在排頭，乙不在前四位，丙排在后三位.

解 解法類似于１７題解法一，分乙在排頭和乙不在排頭；乙在排頭時，只需考慮丙：aa種.

乙不在排頭時，先考慮排頭，再考慮乙和丙：aa#8226;aa種.

２０. 甲、乙、丙三人順序確定.

解 方法一：三個人的全排列共有a種，只需取其中的一種：.

方法二：先固定甲、乙、丙，再用插空法逐個插入：aaaa種.

方法三：等價于在七個位置中選出四個排其他元素，剩余三個位置留給順序確定的甲、乙、丙即可：a種.

以上是筆者將不同背景下的排列問題用站排來加以解釋，希望讀者能有所啟示.

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