新課程背景下數學教學中的類比思想淺析

波利亞在他的《如何解題》中說：“類比就是一種相似，相似的對象在某個方面彼此一致，類比的對象則與其相應部分在某些關系上相似.”比如長方形可與長方體類比：長方形各邊之間的關系與長方體各面之間的關系相似；長方形的每一邊恰與另一邊平行，而與其余的邊垂直. 長方體的每一面恰與另一面平行，而與其余的面垂直.

類比思想包括兩方面的含義：（１）聯想，即由新信息引起的對已有知識的回憶；（２）類比，在新、舊信息間找相似和相異的地方，即異中求同或同中求異．通過類比思維，在類比中聯想，從而升華思維，既有模仿又有創新．而教學的過程是對學生知識進行遷移的過程，類比的思想對學生的知識遷移起到了重要的作用. 特別是在新課程背景下高中數學課堂教學中更應注重類比思想的應用. 下面談一下類比思想在教學中的具體應用方法.

一、類比思想在高中數學概念課中的應用

高中的很多概念在初中時都已有涉及，所以在教學時可以互相比較，哪一些相同？哪一些有變化？為什么這樣變？通過對前后概念類比教學，在原有的認知的基礎上，形成新的思維，新的概念.

比如，三角函數的概念教學中可以將學生所學的初中概念與高中將學的概念進行類比教學，有利于學生系統地掌握知識，建立新舊概念之間的聯系. 在高中數學概念課中還有許多部分可以應用類比方法進行教學，主要有函數的概念、映射與函數、柱體與錐體、圓與球面、集合、數列、排列組合、等差數列與等比數列、橢圓，雙曲線，拋物線的概念等.

在數學概念教學中，能運用類比思想對概念進行辨析，前后知識點互相對應，溫故而知新，這對學生深刻理解概念是大有裨益的. 同時也有助于加強概念間的聯系，有助于對概念的理解，記憶，增強思維的靈活性.

二、類比思想在習題課中的應用

類比推理是各種邏輯思維方法中最富于創造性的一種方法．它可以跨越各類事物的界限，進行不同事物間的類比，既可以比較事物的非本質屬性（如形式和研究方法），又可以比較事物的本質屬性．所以在新課程背景下，教會學生應用類比的思想對數學問題進行分析、理解，以及最終解決問題是高中數學教學的重要內容. 特別是高三教學中習題課與講評課較多，引導學生學會類比思想，研究不同知識之間的聯系，通過聯想的方法對新舊知識進行比較，從而找到解決問題的手段與方法. 根據高中生的抽象邏輯思維從經驗型向理論型急劇轉化的心理特點和高中數學教材的特點，教學中恰當地應用類比方法，不僅能突出問題的本質，提高教學質量，而且有助于培養學生的創造能力等思維品質，提高認識問題和解決問題的能力. 有的學者將高中數學教學中的類比形式分成兩大類：

第一類，同構類比

同構的意義是一個集合Ｍ和Ｎ之間的一一對應，ｆ是一個對于代數運算Ｏ和Ｏ來講，在Ｍ和Ｎ之間的同構對應，假如在ｆ之下，ａ∈Ｍ，ｂ∈Ｍ，只要有 ，，其中ａ∈Ｎ，就有ａＯｂ→ａＯｂ．

如果在Ｍ，Ｎ之間，對代數運算Ｏ和Ｏ，Ｍ和Ｎ同構，記為Ｍ≌Ｎ. 例如，坐標平面上有序實數對（ｘ，ｙ）所組成的集合Ｘ與平面上向Ｚ的集合Ｙ的對應ｆ：（ｘ，ｙ）→ｘ ＋ ｙｉ，那么Ｘ≌Ｙ.

在中學數學中，最常見的同構類比就是數形結合、函數與圖像，代數與解析幾何等.

例１ 求函數y =+ 的最小值.

分析 將原來的式子變形為：

y =+ .

由兩點間的距離公式得幾何意義為點Ｐ（x，0）到點Ａ（１，２）與點Ｂ（２，３）距離之和的最小值，利用同構類比轉化，根據幾何定理，｜ＰＡ｜ ＋ ｜ＰＢ｜的最小值為Ａ關于x軸對稱點Ａ′（１，２）與點Ｂ的距離.

這是一道典型的同構類比，它利同構的方法將代數問題與幾何問題聯系起來，這樣就大大簡化了解題過程.

在中學數學中，最常見的同構類比就是數形結合，函數與圖像，代數與解析幾何等.

第二類，非同構類比

即從對象的某些屬性相同推出它們的其他屬性相同，這是高中數學中大量采用類比形式.

例2 在三棱錐V-ABC中，若三條側棱ＶＡ，ＶＢ，ＶＣ兩兩垂直，且長度分別為ａ，ｂ，ｃ，頂點V到底面ABC的距離VH = h，則= + +．

分析 我們知道，在Rt△ABC中，兩直角邊AC = b，BC=a，斜邊AB上的高為h，則= +. 那么兩者之間是一種什么關系呢？這是一種典型的同構類比，是二維與三維的類比，我們解題的思路與方法就可以通過二維平面中直角三角形的這種求解方法得到我們所要解決的問題的思路與方法.

例3 已知命題：“若數列｛ａｎ｝為等差數列，且ａｍ ＝ ａ， ａｎ ＝ ｂ（ｍ≠ｎ，ｍ，ｎ∈Ｎ＊），則am+n =．”現已知數列｛bn｝（ｂｎ ＞ ０，ｎ∈Ｎ＊）為等比數列，且bm = a，bn = ｂ（ｍ ≠ ｎ，ｍ，ｎ∈Ｎ＊），若類比上述結論，則可得到bm + n = .非同構類比在數學解題中大量存在，它主要是兩種同類或相近事物間，通過兩者局部相似性，也可以通過兩者研究方式的相近性來歸納結論或尋找方法.

類比思想是高中數學教學的一種重要思維方法. 陜西師范大學的羅增儒教授在他的《數學的領悟》一書中對學習數學知識、解決數學問題提出了自己的一些建議：觀察事物的相同性與差異性，這是類比思想解決問題的關鍵. 只有將事物間的相同性進行比較才能進行類比分析，同樣也只有對事物間的差異性進行分析，才能找到具體問題的具體解決方法.

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