數學思想方法

所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果. 數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識;基本數學思想則是體現或應該體現于基礎數學中的具有奠基性#65380;總結性和廣泛性的數學思想.它們含有傳統數學思想的精華和現代數學思想的基本特征，是解決問題的主要手段和理論基礎.

1. 函數思想

把某一數學問題用函數表示出來，并且利用函數探究這個問題的一般規律，從而解決數學問題. 這是最基本#65380;最常用的數學方法. 例如: 2004年吉林省中考試卷第24題)如圖，已知一拋物線形大門，其地面寬度AB=18 m.一同學站在門內，在離門腳B點1 m遠的D處，垂直地面立起一根1.7 m的木桿，其頂端恰好頂在拋物線門上的C處，根據這些條件，請你求出該大門的高度h. 恰當建立直角坐標系 ，求出曲線所表示的二次函數，使問題得到解決.

2. 數形結合思想

把代數和幾何相結合，例如對幾何問題用代數方法解答，對代數問題用幾何方法解答，這種方法在解析幾何里最常用. 例如:(1)若有理數a，b在數軸上的對應點位置如圖，則下列結論錯誤的是 ( ).

A. | a | > | b |B. | a | > -b

C. | b | > aD. | -a | < | -b |

(2) 求1 + + + … +的值.

可借助圖形求出結果為1 -.

3. 分類討論思想

當一個問題因為某種量的情況不同而有可能引起問題的結果不同時，需要對這個量的各種情況進行分類討論. 比如:(1)化簡| a - 1 | + | a + 1 | 的時候，就要討論a的取值情況. (2)列方程解應用題:課外植物小組準備利用學校倉庫的一塊空地，開辟一個面積為130平方米的矩形花圃(如圖所示)，打算一面利用長為a米的倉庫墻壁，三面利用長為33米的舊圍欄. (1)求花圃的長和寬. (2) 說明墻長a米的作用.

4. 方程思想

當一個問題可能與某個方程建立關聯時，可以通過構造方程并對方程的性質進行研究來解決這個問題. 例如:(1) 已知x + y = 8，xy = z2 + 16，求證:x = y.(2)證明柯西不等式的時候，就可以把柯西不等式轉化成一個二次方程的判別式. (3)某自來水公司計劃鋪設155米長的管道，現庫存只有5米和8米的水管. 問保管員有幾種付貨方案. (接頭的長度忽略不計)設需5米長和8米長的水管各x，y根，根據題意得:5x + 8y = 155，有4組非負整數解，所以有4種付貨方案.

5. 歸納類比思想

利用歸納類比思想可以對某種相類似的問題進行研究而得出它們的共同點，從而得出解決這些問題的一般方法.例如:(1) 分式的四則運算法則可以通過和分數的運算法則類比得到.(2) 在同一平面內，n條直線相交，最多有多少個交點?在同一平面內，兩條直線相交有1個交點，三條直線相交最多有3 = 1 + 2個交點，四條直線相交最多有6 = 1 + 2 + 3個交點，那么n條直線相交最多有1 + 2 + 3 + … + n - 1個交點，類比1 + 2 + 3 + … + 100的計算方法:= 5050，可得其結果為.

6. 轉化歸納思想

轉化歸納思想是指把一個較復雜的問題轉化為另一個較簡單的問題并且對其方法進行歸納. 例如:當x分別取值 ， ， ，…， ，1，2，…，2005，2006，2007時，計算代數式 的值，將所得的結果相加，其和等于 ( ).

A. -1 B. 1 C. 0 D. 2007

解 因為+ = + = 0，即當x分別取值 ， n(n為正整數)時，計算所得的代數式的值之和為0;而當x = 1時，=0. 因此選C.

概率統計思想是指通過概率統計解決一些實際問題，例如:摸獎的中獎率#65380;某次考試的綜合分析等.

數學思想方法通常分成三個層次:數學思想. 如函數思想#65380;方程思想#65380;等價轉化思想#65380;分類思想#65380;數形結合思想等;邏輯方法. 如歸納法#65380;演繹法#65380;類比法#65380;分析法#65380;綜合法#65380;反證法等;具體的數學方法.如配方法#65380;換元法#65380;待定系數法等. 掌握了數學思想和方法，對從事教育#65380;教學#65380;數學研究是大有益處的，堅信會有更多的有識之士掌握和運用數學思想方法，發揮它應有的作用.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”