淺談從特殊到一般的數學探究思想

高中新課程改革的帷幕已經徐徐拉開，國家數學課程標準的基本理念中指出，“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式”． 學生的學習方式應以主動參與、探究發現、交流合作為主，新課程改革注重培養學生的探究性學習． 我們要利用好問題的形成，激發學生探索的欲望；應提供給學生充分的探究時間和探索空間，引導學生進行探究性學習；不斷創造機會，引導學生在合作交流中學會探究． 下面筆者就從一道高中數學解析幾何題入手，談談從特殊到一般的數學探究思想．

在一次課堂上學生完成了對題目： “設直線ｌ ∶ ｙ ＝ ｘ ＋ ｂ和拋物線C ∶ ｙ ＝ｘ２ ，當拋物線C上存在關于直線ｌ的對稱點時，確定實數ｂ的取值范圍”的求解并獲得結論：｛b|b ＞ 3｝之后，善于思考的學生提出：對于直線 l ∶ y = kx + b和拋物線C： x2 = 4ｙ，ｋ，ｂ滿足什么條件時，拋物線C上一定存在關于直線l的對稱點？教師認為這是一個很有價值的問題，應當因勢利導深入開展教學，于是教師擇時與全體學生一起進行了一次數學探究. 現把過程粗略整理如下．

探究１ 設直線ｌ ∶ ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ和拋物線 Ｅ ∶ｘ２ ＝ ２ｐｙ（ｐ ＞ ０），當ｋ，ｐ，ｂ有何種關系時，拋物線Ｅ上存在關于直線l的對稱點？

通過探究，同學們獲得了成果：拋物線Ｅ： ｘ2 ＝ ２ｐｙ上存在兩點關于直線ｌ： ｙ ＝ kｘ ＋ ｂ對稱的充要條件是：２（ｂ － ｐ）k2 ＞ ｐ．

以上是陳勇在《數學通報》上發表的文章中所作的探究，以下是筆者對這一案例的進一步拓展研究．

設問１ 如果拋物線Ｅ的方程是 Ｃ：ｙ ＝ ａｘ ＋ ｂｘ ＋ ｃ （ａ ＞ ０），那么這個條件變成什么樣了呢？

探究２ 教師可以引導學生繼續探究．

L. 變形：ｙ＝ ａx +2 +

令 Ｘ ＝ ｘ ＋ ，Ｙ ＝ ｙ －，

原方程變形為：Ｙ ＝ ａｘ2 .

Ｌ：Ｙ ＋ ＝ ｋ（Ｘ －） ＋ ｂ，

Ｙ＝ kＸ ＋.

假設Ａ，Ｂ是兩個關于ｌ的對稱點，且Ｍ（ｘ０，ｙ０） 是Ａ，Ｂ的中點，則

Ｘ１２ ＝Ｙ１２Ｘ２２ ＝Ｙ２２?圯（Ｘ１ ＋ Ｘ２）（Ｘ１ － Ｘ２） ＝（Ｙ１ － Ｙ２）.

KAB = = a（Ｘ１ ＋ Ｘ２） = 2ax0 .

因為ｋ≠０，否則拋物線Ｃ上不存在關于直線ｙ ＝ ｂ對稱的點.

由ｌ⊥ ＡＢ ?圯 2ax0 ＝ －，則Ｘ0 ＝ －代入ｌ的方程得：Ｙ0 ＝ －#8226; Ｋ ＋ =

.

Ｍ－ ， .

因Ｍ在拋物線內部，

所以 ａ－ 2 ＜，

則 ４ａｃ － ｂ12 － ２ｋｂ1 ＋ ４ａｂ － ２ ＞.

仿探究１ 當ｋ≠０時，在直線ｌ：Ｙ ＝ｋｘ ＋- 上取一點Ｍ１－ ， ，過Ｍ１與ｌ垂直的直線 ｍ的方程為：

Ｙ － ＝ － Ｘ ＋.

Y ＝ － X －+Ｘ２ ＝Ｙ?圯4a2k2x2 + 4ka X+ 2 - k2（4ac-b12 - 2kb1 + 4ab - 2） = 0.

因為k ≠ ０，ａ ＞ ０，

Δ ＝ １６ａ2 k2 － ４#8226;４ａ2k2（２ － ４ａｃk2 ＋ k2ｂ12 ＋ ２k3ｂ1 － ４ａｂ k2 ＋ ２k2） ＝ １６ａ2k2（４ａｃk2－ k2ｂ12 －2k3ｂ1 ＋ ４ａｂk2 －２k2 － １）.

因為４ａｃ － ｂ12 －２kｂ1 ＋ ４ａｂ － ２ ＞ ，

所以 ４ａｃk2 － k2ｂ12 － ２k3ｂ1 ＋ ４ａｂk2 － ２k2 － １ ﹥ ０.

則Δ﹥ ０，以上方程組有兩組解，直線ｍ與拋物線Ｃ 有兩個公共點Ａ，Ｂ，其中點為 Ｍ（Ｘ0 ，Ｙ0）.

Ｘ0 ＝ ＝ － ；

Ｙ0 ＝.

即Ａ，Ｂ的中點Ｍ 在直線ｌ上 ，

所以Ａ，Ｂ是拋物線Ｃ上關于直線ｌ的對稱點．

當ａ ＜ ０ 時，４ａｃ － ｂ12 － ２kｂ1 ＋ ４ａｂ － ２ ＜.

課后小結：辯證法認為，一般性寓于特殊性之中． 特殊與一般反映了世界聯系和發展的客觀規律，它同時也成為人們的思維規律，成為人們認識世界的重要思維形式. 在數學教學中運用這一思維形式對培養學生的數學思維能力有著十分重要的意義. 這不但可以培養學生的分析和解決問題的能力，也是新課標所體現的教學理念. 教師如果可以適度挖掘教材，引導學生進行探究性學習，對于培養學生的數學思維品質定會取得成效.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”