用向量法解決有關直線的問題

向量是高中數學的一項基本內容，近幾年在中學數學中的地位日益顯著，尤其在學習解析幾何與立體幾何內容中體現出來的工具性，實現了用向量代數方法來研究幾何問題的目的. 利用向量方法分析傳統的幾何問題可以幫助學生更好地建立代數和幾何的聯系，也為中學生以后進一步學習高等數學奠定了直觀的基礎.

文中使用的符號l，l1，l2的含義:

l:Ax + Bx + C = 0(A2 + B2 ≠ 0);

l1:A1x + B1x + C1 = 0(A12 + B12 ≠ 0);

l2:A2x + B2y + C2 = 0(A22 + B22 ≠ 0).

問題 由于向量在解決成角問題時所顯示出的強大的功能，因此可以考慮用向量法推導夾角和到角公式.

假設l1，l2 的斜率都存在，分別為k1，k2，則= (1，k1)， = (1，k2)分別為l1，l2的方向向量，直線l1，l2的夾角設為α且α∈0， ，向量，的夾角設為β且β∈[0，π]，可知α = β 或 α = π -β，

∴ cos α = |cos β| ==.

當#8226;= 0即1 + k1k2= 0時 ， α =;

當 #8226; ≠ 0即1 + k1k2≠ 0時，又α ∈ 0， . ∴ tan α ===.

再設直線l1到l2的角為θ，下面分析角θ與向量 ，夾角 β之間的關系:

(說明:箭頭代表對應直線的方向向量)首先可以知道當k > 0時向量(1，k)指向右上方，當k < 0時向量(1，k)指向右下方.

當k1 > k1 時，見圖①，②，③，都有 θ = β∈(0，π)，

所以tan θ 與cos θ 符號相同，

∴ cos θ = cos β = = ，∴ tan θ =.

又∵k2 > k1 ，∴tan θ =.

當k2 < k1 時，見圖④，⑤，⑥，都有 θ = π - β，

所以cos β與cos θ符號相異且tan θ與cos θ符號相同，

∴ cos θ = -cos β = - = ，∴ tan θ =.

又∵k2 > k1 ，∴tan θ =.

綜上，都有l1 到l2 的角公式tan θ =.

以上兩個公式的使用條件均為k1，k2存在且1 + k1#8226;k2 ≠ 0.

上述推導過程還可以推廣到任意兩條直線間的夾角和到角，如果在選用方向向量時，設= (B1，-A1)， = (B2，-A2)，則會推出這樣的夾角公式tan α = 與到角公式tan θ =，其中分子為0時可以得出l1與l2平行或重合，若分母為0時 ，則l1與l2垂直.

在解析幾何中向量還有很多其他方面的應用，例如定比分點的向量公式，推導點到直線的距離公式，判定直線與直線的平行#65380;垂直關系，解決關于直線對稱點問題等都是大家熟悉的. 除此以外，利用直線的法向量判斷二元一次不等式所表示的平面區域方面也有獨到之處.

在二元一次不等式表示平面區域的判斷中用特殊點來驗證是一種常用且有效的方法，但此法取點時有限制，即所取點不能在直線上. 實際上要判斷的區域無非是直線的上下方(或左右方)直線的法向量是垂直于該直線的，它一定指向該直線所劃分出來的兩部分區域中的一個，因此可以研究直線l:Ax + By + C = 0(A2 + B2 ≠ 0)的法向量= (A，B)與不等式Ax = By + C > 0(< 0)所表示的平面區域的關系. 由向量的自由平移性質可以知道A，B的取值對= (A，B)的指向所起的作用:

當B > 0時，= (A，B)指向直線上方;

當B < 0時，= (A，B)指向直線下方;

當A > 0時，= (A，B)指向直線右方;

當A < 0時， = (A，B)指向直線左方.

舉實例分析A，B，C的不同取值情況下，不等式Ax + By + C > 0對應直線的法向量= (A，B)與不等式所表示的平面區域之間的關系如下:(說明:符號“→”表示相應圖形中直線的法向量)

以上八種情況可以推廣到不同A，B取值的一般情況，可以得出= (A，B)總指向使Ax + By + C > 0的平面區域.

除上述用途外，向量還普遍應用于證明兩直線位置關系(平行，重合，相交，垂直)的充要條件，在此就不贅述了.

新教材中向量內容有專門的論述，在解析幾何中逐步滲透向量方法既能復習舊知識，又能銜接新內容，利用向量方法學習新知識對分析解決問題的能力培養起著重要作用. 而且，如果能靈活地應用向量方法去解題，就會避開一些復雜的計算和繁瑣的思維，使解答變得簡潔. 所以，向量是新課程引進的一個重要的學習工具，我們一定要在教學中加以重視.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”