例談圓中輔助線的添加方法

添輔助線是幾何證題中的一種手段，當(dāng)題目由已知條件不易推出求證結(jié)論時(shí)，常須要添加輔助線. 如何添輔助線，是幾何證題中的一個(gè)難點(diǎn). 本文談?wù)剤A中一些常見輔助線的添加方法.

一#65380;引直徑作為輔助線，目的是利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”這一性質(zhì)

例1 對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，圓心到一邊的距離等于這邊的對(duì)邊長(zhǎng)的一半.

已知:如圖1，在⊙O中，AC⊥BD，OF⊥BC于F，求證:OF =AD .

證明 過B 作⊙O 的直徑BE，連接EC，則∠BCE = 90°.

OF⊥BC ?圯 BF = CFBO = OE?圯 OF =EC.

AC⊥BD ?圯∠2 + ∠3 = 90°∠1 + ∠E = 90°∠3 = ∠E ?圯∠1 = ∠2?圯

= ?圯 AD = EC.

∴ OF =EC =AD.

二#65380;引弦心距為輔助線，目的是利用圓心角#65380;弧#65380;弦#65380;弦心距之間的關(guān)系

例2如圖2，點(diǎn)O是∠EPF的平分線上一點(diǎn)，以 O為圓心的圓和角的兩邊PE，PF分別交于點(diǎn)A，B和C，D. 求證:AB = CD.

證明 作OM⊥AB，ON⊥CD，M，N為垂足.

∵ 點(diǎn)O在∠EPF的平分線上，

∴ OM = ON .

∵ OM，ON分別是弦AB，CD的弦心距，

∴ AB = CD.

三#65380;若已知切線，常過切點(diǎn)作半徑，目的是利用切線的有關(guān)性質(zhì)

例3 已知:如圖3， BA是⊙O 的切線， A為切點(diǎn)，OB交⊙O于E，AD⊥OB于D，求證:∠DAE = ∠EAB .

證明 連接OA.因BA為⊙O的切線，故∠EAB =∠AOE，∠DAE = 90° - ∠DEA = 90° -(180° - ∠AOE)=∠AOE.

∴ ∠DAE = ∠EAB.

四#65380;在兩圓相切問題中，常過切點(diǎn)作兩圓的公切線，目的是構(gòu)造弦切角，利用弦切角定理

例4 已知:如圖4，⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)A，直線BD切⊙O1于點(diǎn)B，交⊙O2于點(diǎn)C，D，直線DA交⊙O1 于點(diǎn)E，求證:

(1) ∠BAC = ∠ABC + ∠D;

(2) AB2 = AC#8226;AE﹒

證明 (1) 過A點(diǎn)作⊙O1和⊙O2的公切線MN，則∠MAC = ∠D﹒

∵ CB是⊙O1的切線， ∴ ∠ABC = ∠BAM，

∴ ∠BAC = ∠BAM + ∠MAC = ∠ABC + ∠D﹒

(2) 連接BE，則∠E = ∠ABC.

又∠EAB = ∠ABD + ∠D = ∠BAC，

∴ △ABE∽△ACB，

∴= ，

即AB2 = AC#8226;AE﹒

例5 如圖5，⊙O1與⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)P，⊙O2的弦BE與⊙O1相切于C，PB交⊙O1于D，PC的延長(zhǎng)線交⊙O2于A，連接AB，CD，PE，求證:∠BPA = ∠EPA.

證明 過P點(diǎn)作兩圓的公切線MN，則∠MPB = ∠PCD = ∠A﹒

∴ CD∥AB，∠ABC = ∠BCD﹒

又∵ BC是⊙O1的切線，

∴ ∠BCD = ∠BPA.

∵ ∠ABC = ∠EPA，

∴∠BPA = ∠EPA﹒

五#65380;若兩圓相交，常作公共弦為輔助線

例6 如圖6，已知⊙O與⊙O′相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O′的切線交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作兩圓的割線分別交⊙O，⊙O′于點(diǎn)E，F(xiàn)，EF與AC相交于點(diǎn)P﹒求證:PA#8226;PE = PC#8226;PF﹒

證明 連接AB.∠PEC = ∠PAB.

∵ CA為⊙O′的切線，

∴ ∠PAB = ∠BFA，∴ ∠PEC = ∠PFA，

∴ △PEC ∽△PFA，∴= ，

即PA#8226;PE = PC#8226;PF﹒

例7 如圖7，⊙O1和⊙O2相交A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn) A的直線CD與⊙O1交于點(diǎn)C，與⊙O2交于點(diǎn)D，經(jīng)過點(diǎn)B的直線EF與⊙O1交于點(diǎn)E，與⊙O2交于點(diǎn)F，求證:CE∥DF ﹒

證 連接AB，

∵ ABEC是⊙O1 的內(nèi)接四邊形，

∴ ∠BAD = ∠E﹒

又∵ ADFB是⊙O2 的內(nèi)接四邊形，

∴ ∠BAD + ∠F = 180°，∴ ∠E + ∠F = 180°，

∴CE∥CF﹒

練習(xí)題

1. 如圖8，在銳角三角形ABC中，BC = a，CA = b，AB = c，外接圓半徑為R，求證:= ==2R ﹒

2. 已知:如圖9，⊙O1和⊙O2相交點(diǎn)A和B，O2O1的延長(zhǎng)線交⊙O1于點(diǎn)C，CA，CB的延長(zhǎng)線分別和⊙O2相交于點(diǎn)D，E，求證:AD = BE﹒

3. 如圖10，⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線，B，C為切點(diǎn). BA的延長(zhǎng)線交⊙O2于點(diǎn) E，CA的延長(zhǎng)線交⊙O1于點(diǎn)F，求證:BC2 = BA#8226;AE + CA#8226;AF.

4. 如圖11，⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點(diǎn)，過B作直線交⊙O2于點(diǎn)C，交⊙O1于點(diǎn)D，G為兩圓外一點(diǎn)， GC交⊙O1于E，GD交⊙O2于F，連接AE，AF，求證:∠GEA + ∠GFA = 180°.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文#65377;”