淺議數學建模的假設條件

【摘要】 用數學求解或分析實際問題，需要對實際問題作出合理的假設，這是建立數學模型的一個關鍵步驟，不能忽視.

【關鍵詞】 數學模型 假設條件 主要因素

從９０年代開始在全國舉行的大學生數學模型競賽至今已走過了十多個年頭，其所起到的積極作用不可估量，實踐證明，這項活動有利于培養學生分析問題和解決問題的能力，有利于培養學生創新和合作精神，有利于推動教學內容、課程體系和教學方法的改革，是數學教育發展的主要趨勢，是培養學生創新能力的重要方法.教育必須反映社會的實際需要，大學開設數學模型課程，既順應了時代發展的潮流，又符合了教育改革的要求. 那么對于初學數學建模課的學生或參加數學模型競賽的學生應該注意些什么問題呢？建模和平時學習數學與解數學題有什么區別呢？在此談談建模中的假設條件.

從小學到大學十多年的數學學習中，我們學到了數學精確的計算，嚴密的邏輯推理，對于相應的訓練我們已經習以為常，代數中的精確計算，幾何中的已知求證，即便是解答應用題，也是給出已知條件，求解相關問題的解，所以對一般的學生來說，不會有的問題，特別是對那些擅長數學的學生來說，更是得心應手. 但是在真正用數學去解決實際問題的時候，現實卻并非像解上面的數學題那么簡單. 即便是數學功底比較好的學生也會無從下手，因為我們以往在數學課上碰到的數學題實際上已經模型化了，只要用相關的公式或定理就可以得到問題的解答，而我們要用數學去解決一個現實問題的時候，為了把實際問題轉化為數學問題即建立數學模型，首先要把實際問題理想化、簡單化，為此，就要在對實際問題進行詳細了解的基礎上，對問題作出合理的假設，在假設成立的前提下，建立問題的數學模型，以便求解，獲得實際問題的最佳答案.

一、幾個實例的假設

１. （生產計劃問題）某工廠在計劃內要安排生產Ⅰ、Ⅱ兩種產品，已知生產單位產品所需的設備時，Ａ，Ｂ兩種原材料的消耗及單位產品所獲利潤如下表：

問：應如何安排生產計劃使該工廠獲利最多？

在建立這個問題的模型時，學生一般都會很容易得到下列線性規劃模型：

設x1，x2分別表示生產兩種產品的產量，ｚ表示利潤，則ｍａｘ ｚ ＝ ２ｘ１ ＋ ３ｘ２ .

ｘ１ ＋ ２ｘ２ ≤ ８，４ｘ１ ≤ １６，４ｘ２ ≤ １２，ｘ１，ｘ２ ≥ ０，這個看起來很簡單的模型實際上除了用到經濟學中的“理性人假設”，也就是說市場上需要什么、需要多少工廠就生產多少的該產品. 這樣，生產出來的產品都能賣出去，另外還作了下列三個假設條件：

（１） 比例性. 每個決策變量對目標函數的“貢獻”，與該決策變量的取值成正比例；每個決策變量對每個約束條件右端項的“貢獻”，與該決策變量的取值成正比例. （２） 可加性.各個決策變量對目標函數的“貢獻”，與其他決策變量的取值無關；各個決策變量對每個約束條件右端項的“貢獻”，與其他決策變量的取值無關.

（３） 連續性. 每個決策變量的取值是連續的.

只有在上面的這些假設條件下，模型才得以建立，違反了其中任何一個，就不可能得到上面的模型.

２. （森林失火問題）森林失火，消防站接到報警后派多少人前去救火能使總的損失最小？

該問題中的損失可以通過費用來衡量，其中森林燒毀的面積在問題中占了絕大的比重，而燒毀面積可以用數學的方法來近似求得. 實質上在求面積時，假設了在無風或風力不大的情況下，火勢以失火點為中心，以均勻速度（實質上假設森林是密集均勻的）向四周呈圓形蔓延，從而得到蔓延的半徑與時間成正比，這樣單位時間燒毀的面積及火勢蔓延的速度與時間成正比，在對這個實際問題理想化的基礎上作出合理的假設，相應的模型才得以建立. （建模過程略）

３. （貨機裝運問題）某架貨機有三個貨倉：前倉、中倉、后倉. 三個貨艙所能裝載貨物的最大重量和體積都有限制，為了保持飛機的平衡，三個貨艙中的實際裝載貨物的重量必須與其最大容許重量成比例，裝載不同的貨物可以獲得不同的利潤，應如何安排裝運，能使貨運所獲利潤最大？

該模型的建立可以在下列合理的假設下建立線性規劃模型.

① 每種貨物可以分割到任意小.

② 每種貨物可以在一個或多個貨艙中任意分布.

③ 多種貨物可以混裝，并保證不留空隙.

以上三個例子的合理假設，使問題得以簡化，令實際問題轉化為數學模型.

二、假設的必要性

從上面的例子看到，建立實際問題的模型，都要建立在一定的假設下，才能把相應的問題用數學的形式表示出來，這樣問題才能用數學的方法來求解或進行理論分析. 建模要作假設是基于下列原因：

（１）沒有科學和合理的假設，人們對現實世界的感性認識就不可能上升到理性的階段；就像經濟學中的“理性人假設”一樣，沒有這樣的假設，整個經濟學的相關理論就無從建立；森林失火問題中沒有燒毀面積為圓（或其他平面圖形）的假設，森林燒毀大小所帶來的損失就無從估計，問題也不能轉化為數學模型以便進行相關的分析了.

（２） 從現實到模型需要假設. 為什么在建立模型之前要進行一番假呢？因為我們要解決的是一個完完全全的現實問題，現實問題錯綜復雜，涉及面廣，有多種因素與所研究的對象有關聯，但這些因素有主次之分，要建立一個合理的模型，必須分析清楚哪些是主要的本質因素，哪些是非本質的次要因素. 進行假設的目的在于選出主要因素，忽略非本質因素，使問題簡化以便進行數學描述，進而抓住問題的本質. 生產計劃問題中的三個假設，就是抓住主要和本質的因素進行假設的.

（３） 不同的假設能得到不同的模型.來看一個通俗的例子：已知火車某時刻的行駛速度，計算火車在一定的時間內行駛的路程. 在對該問題的求解中，實際上，我們可以假設火車在中途行駛階段是勻速的， 如果在出發提速階段或制動減速階段，則可以假設火車是勻加速或勻減速運動的，在這樣合理的假設下，我們才能選擇不同的模型，得到問題在不同情況下的最佳答案. 貨機問題中沒有了三個問題中的某一個假設，建立出來的模型與結論顯然與上面假設條件下的模型與結論不同.

三、作出假設應注意的問題

１. 假設要合理. 假設不合理或過分簡單，會導致模型的失敗；假設做得過于詳細，考慮的因素過多，會使模型太復雜而無法進行下一步的工作.合理的假設應遵循下面四個原則：

（１） 目的性原則：抽象出與建模目的有關的因素，簡化掉與建模目的無關的或關系不大的因素.

（２） 簡明性原則：給出的假設條件要簡單、明確，有利于構造模型.

（３） 真實性原則：假設條件要符合情理，簡化帶來的誤差應滿足實際問題所能允許的誤差范圍.

（４） 全面性原則：在對事物原型本身作出假設的同時，還要給出原型所處的環境條件.

２. 分清主次.一個實際問題往往是復雜多變的，如不經過合理的簡化假設，將很難轉化成數學模型，即便轉化成功，也可能是一個復雜的難于求解的模型，從而使建模歸于失敗． 于是，我們必須進行必要的篩選，抓住主要因素，從中舍去次要因素，如果我們認定的主要因素還是覺得多的話，為了能順利建模，也必須或者說至少是暫時舍棄，等到最后在模型分析時再給予考慮.

３. 考慮與問題相關的知識，充分發揮想像力.一般地作，假設時既要考慮與問題相關的物理，化學、生物、經濟等方面的知識，又要充分發揮想像力、洞察力和判斷力，善于辨別問題的實質，在相對簡單的情況下理清變量之間的關系，用合理的數學模型來表達現實問題.

４. 精確表述假設條件：寫出假設時，語言要清楚、準確，就像作數學習題時寫出的已知條件一樣，使人們意識到，模型是在什么條件下建立起來的.

一個實際問題不經過簡化、假設就很難翻譯成數學問題，即使可能，也會因其過于復雜而很難求解. 合理的假設在建模中除了簡化問題外，還可以對模型的使用范圍加以明確的限定. 模型的成功與否很大程度上取決于假設是否恰當，所以用數學模型解決實際問題時，作出合理的假設是建模中的一個重要步驟，對于參加數學模型競賽或初學數學模型課程的學生應該給予高度重視.

【參考文獻】

［１］李大潛.中國大學生數學建模競賽（第二版）［Ｍ］． 北京：高等教育出版社， ２００１.

［２］ 姜啟源等.數學模型（第三版）［Ｍ］． 北京：高等教育出版社，２００３.

［３］ 陳理榮.數學建模導論 ［Ｍ］． 北京： 北京郵電大學出版社，１９９９.