挖掘文化內(nèi)涵，開(kāi)展勾股定理教學(xué)

勾股定理是一條古老而著名的數(shù)學(xué)定理，從某種意義上說(shuō)是人類(lèi)智慧的結(jié)晶，是古代文化的精華． 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議讓人造衛(wèi)星把勾股定理帶到宇宙中翱翔，如果的確存在星外文明，那么他們也定能從中感悟到地球文明． 然而，由于勾股定理本身證明較為復(fù)雜，而平常的習(xí)題也都是對(duì)定理的一些簡(jiǎn)單計(jì)算應(yīng)用，不少教師為追求單一節(jié)課堂教學(xué)的效率最大化，在教學(xué)過(guò)程中往往采用讓學(xué)生感知并接受定理，通過(guò)一系列的練習(xí)加以鞏固，這在“應(yīng)試”背景下被不少教師認(rèn)為是提高課堂效率的經(jīng)驗(yàn)． 但數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)的僅僅是應(yīng)用型人材嗎？蘊(yùn)含豐富文化底蘊(yùn)的勾股定理僅僅是作為一個(gè)簡(jiǎn)單的工具而存在的嗎？ 這顯然是不夠的.“多元文化下的勾股定理”給了我們一個(gè)很好的視角，讓我們既能全面地了解、認(rèn)識(shí)勾股定理的文化價(jià)值，也給了我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中一個(gè)很好的啟示，并能最大限度地提高運(yùn)用勾股定理解題的能力． 下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐在充分挖掘勾股定理文化價(jià)值的前提下談?wù)劰垂啥ɡ淼慕虒W(xué)．

一、滲透勾股定理證明中的“出入相補(bǔ)”原理

在東方實(shí)用主義的視野里，勾股定理蘊(yùn)藏著十分樸素的“出入相補(bǔ)”的原理，即任意多邊形都可以由對(duì)角線(xiàn)劃分為若干個(gè)三角形，同時(shí)利用面積拼補(bǔ)的方法容易把三角形化為一個(gè)相同面積的矩形（圖１）． 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽正是利用這一原理，將勾股定理的證明建立在一種不證自明、形象直觀的基礎(chǔ)上（見(jiàn)圖２）， 使數(shù)學(xué)證明可以通過(guò)借助實(shí)物操作，最終達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)定理的意義建構(gòu)．

即４ × ０．５ａｂ ＋ （ｂ － ａ）２ ＝ ｃ２，化簡(jiǎn)后得到ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２．

而這一點(diǎn)正是我們傳統(tǒng)教學(xué)方法中較易忽視的環(huán)節(jié)，從下面一道競(jìng)賽題中就可以明顯地看出．

例１ （２００２年４月“希望杯”試題）若ａ，ｂ均為正數(shù)，且 ， ， 是三角形的三邊長(zhǎng)，求三角形的面積．

在參加競(jìng)賽的數(shù)學(xué)優(yōu)秀生中，最后能做出本題的學(xué)生寥寥無(wú)幾，好多同學(xué)都是從純代數(shù)的角度試圖解決，但結(jié)果都無(wú)功而返． 因?yàn)樵谄匠５慕虒W(xué)中，學(xué)生所接受的都是就一些定理的直接應(yīng)用，至于定理背后所蘊(yùn)藏的思想方法較少涉及，對(duì)平常一些基本解題套路比較熟練的同學(xué)，面對(duì)此題顯得束手無(wú)策，而實(shí)際上只須對(duì) ， ， 進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋碚鳎ㄈ鐖D３），即分別對(duì)應(yīng)為ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ，而三角形的面積也就是Ｓ△ＡＢＣ ＝ ４ａｂ － ２．５ａｂ ＝ １．５ａｂ．

出現(xiàn)上述解題困難的原因是多方面的，但很大程度上反映出我們?cè)诮坦垂啥ɡ頃r(shí)，只強(qiáng)調(diào)對(duì)定理的感知、接受，強(qiáng)調(diào)勾股定理的計(jì)算作用，而對(duì)勾股定理證明過(guò)程中的“出入相補(bǔ)”原理比較忽視．

二、吸收歷代名人在證明勾股定理中的智慧精華

從歷史的角度看，歷代名家對(duì)勾股定理的證明都進(jìn)行了十分卓越的探索，其中也不乏許多精妙的構(gòu)思，而美國(guó)第二十任總統(tǒng)加菲爾德（Ｊ．Ａ．Ｇａｒｆｉｅｌｄ，１８３１－１８８１），在他任眾議員時(shí)，曾發(fā)表的簡(jiǎn)單證法，可謂獨(dú)樹(shù)一幟，其中所閃爍的智慧的火花，很值得學(xué)生吸?。?/p>

在等腰直角三角形兩側(cè)作兩直角三角形，構(gòu)成以ａ，ｂ為上、下底，以ａ ＋ ｂ為高的梯形（如圖４）.

∵ ０．５（ａ ＋ ｂ）（ａ ＋ ｂ） ＝ ２ × ０．５ａｂ ＋ ０．５ｃ２，

∴ ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２．

運(yùn)用此證法中的數(shù)形結(jié)合思想，可以巧妙地解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題.

例２ （加拿大第一屆中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）ｃ為直角三角形的斜邊，ａ，ｂ為兩直角邊． 求證：ａ ＋ ｂ ≤ .

證明 構(gòu)造加菲爾德圖形（如圖５），在直角梯形ＡＢＤＥ中，∵ ＡＥ ＝，而ＢＤ ≤ ＡＥ，∴ ａ ＋ ｂ ≤ .

從上述簡(jiǎn)潔的證法可以看出，歷代名人在證明勾股定理中表現(xiàn)出來(lái)的智慧的精華很值得現(xiàn)代人吸?。?

三、發(fā)揮勾股定理的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練功能

從演繹推理的角度看，勾股定理不僅是計(jì)算的工具，而且在訓(xùn)練學(xué)生思維方面也大有作為，如利用ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２，可通過(guò)變形，對(duì)形如 的代數(shù)式，可借助幾何圖形的轉(zhuǎn)化來(lái)進(jìn)行證明．

例３ 已知ａ，ｂ均為正整數(shù)，ａ ＋ ｂ ＝ ６，求：+的最小值．

解 構(gòu)造如下圖形（圖６），設(shè)ＡＢ ＝ ２，ＤＣ ＝ ３，ＢＤ ＝ ６.當(dāng)ａ?。拢?，ｂ取ＰＤ時(shí)， + 取最小值（∵ ＡＱ ＋ ＣＱ ＞ ＡＣ），再利用相似三角形的知識(shí)就可以解決．

實(shí)際上，利用勾股定理也可對(duì)形如： ， 等的代數(shù)式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)換，這在教學(xué)實(shí)踐中也有許多例子．

四、進(jìn)一步挖掘勾股定理的豐富文化內(nèi)涵

從整個(gè)文化背景中看，勾股定理蘊(yùn)藏著豐富的文化底蘊(yùn)． 首先，目前全世界范圍內(nèi)關(guān)于勾股定理的證法已有近400種，這近400種的證法展示了不同的文化背景的思維方式，同時(shí)也閃爍著人類(lèi)自身智慧的光芒，如果將這些多元文化的事例引入中小學(xué)課堂，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)“誰(shuí)比誰(shuí)早多少年”已經(jīng)不是最重要的了，重要的是要讓學(xué)生消除民族中心主義的偏見(jiàn)，以更寬闊的視野去認(rèn)識(shí)古代文明的數(shù)學(xué)成就，通過(guò)不同數(shù)學(xué)思想方法的對(duì)比，來(lái)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維，并學(xué)會(huì)欣賞豐富多彩的數(shù)學(xué)文化． 如從這些證法中我們可以歸納出以下幾種證明的思考途徑． （１）剖分法（剖分為若干全等的多邊形）；（２）拼補(bǔ)法（補(bǔ)入若干全等三角形之后全等）；（３）拼拆法（在全等形上拆去若干全等形）；（４）利用面積來(lái)證題．

其次，關(guān)于對(duì)勾股定理的研究也極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展． 如在中國(guó)，諸如開(kāi)方術(shù)、方程術(shù)、天元術(shù)等技藝的誕生與發(fā)展，尋根探源，都與勾股定理有著密切的關(guān)系；而西方數(shù)學(xué)家從數(shù)的角度將勾股定理推廣到求不定方程的正整數(shù)解，引出了著名的費(fèi)爾馬猜想、鮑恩猜想、埃斯柯特猜想，教學(xué)中結(jié)合相關(guān)內(nèi)容的講解，可以極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

另外，展示不同文化背景下的勾股定理的應(yīng)用，讓學(xué)生去了解早期數(shù)學(xué)家感興趣的問(wèn)題，讓學(xué)生回到問(wèn)題提出的時(shí)代，學(xué)生在解決源于數(shù)世紀(jì)以前的問(wèn)題時(shí)會(huì)經(jīng)歷某種激動(dòng)和滿(mǎn)足，這都是勾股定理教學(xué)中不可多得的題材．

從某種意義上講，勾股定理的教與學(xué)是數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革的晴雨表：從２０世紀(jì)五六十年代的嚴(yán)格證明，到后來(lái)的“量一量、算一算”之后再“告訴結(jié)論”以及“做中學(xué)”直到現(xiàn)在的探究式等，世界各國(guó)在不同時(shí)期都有不同的追求，但勾股定理教學(xué)，特別是在數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)代化視野中，勾股定理的教學(xué)必將有更為豐富的內(nèi)涵，這需要我們教學(xué)工作者不斷地摸索、實(shí)踐．

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>