圓錐曲線焦點弦性質的教學研究

【摘要】 采用學生自主學習和課堂交流相結合的教學模式，引導學生對橢圓#65380;雙曲線#65380;拋物線等圓錐曲線的焦點弦性質進行研究#65380;探討，推導出各曲線的焦點弦長公式以及焦點弦的共同性質，以期培養學生發現#65380;提出#65380;解決數學問題的能力.

【關鍵詞】 圓錐曲線 焦點弦 性質

橢圓#65380;雙曲線#65380;拋物線的焦點弦都有許多性質，而且應用非常廣泛. 焦點弦的性質是直線與圓錐曲線關系問題的一個重要組成部分. 但是現行的高中數學教材對這些性質未作詳細的介紹. 本文引導學生開展自主探究性學習，讓學生根據圖形和已有的知識，自己尋找#65380;自己發現#65380;自己解決問題，然后對圓錐曲線的焦點弦性質進行歸納#65380;總結.

一#65380;根據圓錐曲線定義，引導學生探究各曲線的焦點弦長公式

1. 拋物線的焦點弦

過拋物線y2 = 2px(p > 0)的焦點弦的直線交拋物線于A，B兩點，其交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2). (如圖1)因|AB|是焦點弦，老師請學生根據拋物線定義及數形結合的思想，把線段AF與BF轉化為線段AA′與BB′，于是學生很容易得出結論:|AB| = x1 + x2 + p，若α為AB的傾斜角，則|AB| =.

2. 橢圓的焦點弦

過橢圓+ = 1(a > b > 0)的焦點弦的直線交橢圓于A，B兩點，兩交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2). (如圖2)

根據橢圓的第二定義，引導學生先寫出焦半徑公式.

設P(x，y)是橢圓上任一點，焦點F1(-c，0)，F2(c， 0)，則

|AB| = 2a + e(x1 + x2) (過左焦點).

3. 雙曲線的焦點弦

過雙曲線- = 1的焦點弦的直線交雙曲線于A，B兩點，兩交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2). (如圖3，4)

根據雙曲線的第二定義，引導學生寫出焦半徑公式.

① 設P(x，y)為雙曲線右支上任意點(如圖3)，焦點F1(-c，0)，F2(c，0)，則

= e，|PF1| = ex + a;= e，|PF2| = ex - a .

② 設P(x，y)為雙曲線左支上任意點，則同理可得:|PF1| = -ex - a;|PF2| = -ex + a.

于是，引導學生在推導焦點弦公式時也要分情況討論:

(1) 如果A，B兩點分別在左右兩支上(如圖3)，

則 |AB| = |F1B| - |F1A| = 2a + e(x1 + x2).

(2) 如果A，B兩點在同一支上(如圖4)，

則 |AB| = |AF1| + |BF1| = -2a - e(x1 + x2)(過左焦點);

|AB| = |AF2| + |BF2| = 2a - e(x1 + x2)(過右焦點).

二#65380;辯析深化，探究圓錐曲線焦點弦的一些共同性質

1. 若AB為圓錐曲線的焦點弦，F為焦點，則+為常數. 對于拋物錢y2 = 2px(p > 0)的焦點弦AB，有+ = +. 要求學生們自己證明，并請一名學生到黑板前板演.

證明 設AB所在直線為y = kx -，A，B兩點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2).把y = kx -代入y2 = 2px，得k2x2 - p(k2 + 2)x + k2p2 = 0.

則 x1 + x2 =，x1x2 =p2.

又∵ p > 0，則FA = x1 + ， FB = x2 +，

∴ + = + =

= =.

這一證法，既用了韋達定理，又用了拋物線的焦半徑公式，過程簡潔明快.

教師質疑 “這一證法嚴密嗎?請大家互相討論，仔細推敲. ”

經過片刻的深討，有些學生提出:當k不存在時，也要加以證明.

這就給我們提供了反思的素材:選擇解題方法必須具體問題具體分析，在一味追求巧解的同時，更要注重各種解法之間的聯系，講求解題的嚴密性.

類似地，可以證明橢圓+ = 1(a > b > 0)與雙曲線- = 1(a > 0，b > 0)的焦點弦AB中，有

+ =(常數).

2. 橢圓#65380;雙曲線#65380;拋物線過焦點諸弦中點軌跡還是橢圓#65380;雙曲線#65380;拋物線.

引導學生以橢圓+ = 1(a > b > 0)為例給以證明.(證明略)

類似地，雙曲線過焦點的諸弦中點軌跡還是雙曲線;拋物線過焦點的諸弦中點軌跡還是拋物線.

除此以外，拋物線的焦點弦還有許多性質. 如:以拋物線焦點弦為直徑的圓必和準線相切;如果拋物線焦點弦AB的垂直平分線交x軸于一點P，則=;分別以焦點弦AB的端點A，B為切點的拋物線的兩條切線相交于C，則∠ACB = 90°，等等. 還可引導學生對這些結論進行變形討論，并要求學生課后自己編題，相互探討. 這樣能激發學生的主動性和積極性，在探究中培養他們的創新能力.

總之，這是一次以學生為主的研究性學習，是以自主學習和課堂交流相結合的教學模式. 它既培養了學生發現#65380;提出#65380;解決數學問題的能力，又鍛煉了學生的探究#65380;歸納和實踐能力.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”