兩條異面直線間距離的多種解法

摘要： 文中通過例題分析了求解異面直線距離的多種方法，教學實踐表明效果顯著。

關鍵詞： 異面直線 求解 例子

筆者在教學過程發現求解異面直線的距離一直困擾很大部分學生，而往往考試又是從多角度進行該問題的考查。因此，根據自己的教學實踐和學生們出現的問題，筆者總結出以下四種求解異面間的距離的方法，供同行參考。

1 定義法

找到異面直線的公垂線段，然后求解。

例1.空間四邊形ABCD中，如圖1所示，AD=AC=BD=BC=a，AB=CD=b，E、F分別為AB，CD的中點，求直線AB與CD的距離。

解：△ABC和△BCD中，AD=AC=BD=BC=a，

則△ABC≌△BCD

∴AF=BF

又E是AB中點

∴EF⊥AB

同理，EF⊥CD

∴EF是AB、CD的公垂線

在Rt△ADF中，AF =AD －DF =a － b

在Rt△AEF中，EF=

= =

2 公式法

已知兩條異面直線a，b所成的的角為θ，在直線a、b上分別取E、F兩點，如圖2所示，已知AE=m，AF=n，EF=l，公垂線AB=d，則有d= 。

例2.α-β的二面角的棱上，有兩個點A、B，AC，BD分別是在這個二面角的兩個面內垂直于AB的線段，已知AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，AC、BD所成角為60°如圖3所示，求ＣD的長。

解：根據公式有AB=

∵CD =CA +AB +BD +2CA#8226;BDcos60°

即CD =36+16+64+12=164

∴ CD=2

［點評］直接應用公式要特別注意兩點:一是±的選取，二是θ是異面直線所成的角。

3 轉化為直線到其平行平面的距離

直線a，b是異面，直線c∥直線a且與直線b相交，設直線c，b確定平面α，則異面直線a，b的距離為直線a到平面α的距離，如圖4所示。

證明：設線段AB是異面直線a，b的公垂線段，則AB⊥a，

∴直線c∥直線a

∵ AB⊥c

又AB⊥b

∴AB⊥面α

∴線段AB的長是直線a到平面α的距離。

例3.已知AC與BD的公垂線AB＝４，AC=2，BD=3，CD=4 ，如圖5所示。求AB與CD的距離。

解：過點D做DE AB，連接EC，EA，則AB到平面DEC的距離為異面直線AB與CD的距離。

作AN⊥EC于N，

∵DE⊥面AEC

∴面DEC⊥面AEC

又AN⊥EC

∴AN⊥面DEC

∴線段AN的長為所求的距離。

∵CE= =4

∴AN= sin∠EAC= sin∠EAC

又cos∠EAC= =

∴sin∠EAC=

∴AN==

4 利用向量求異面直線的距離

A B 是異面直線AA ，BB 的公垂線， 是A B 的方向向量，如圖5所示，則A B = 。

例4.已知邊長為a的正方形ABCD-A B C D ，求 A C 與B C的距離。

解：如圖6，建立空間直角坐標系則D(0，0，0)，A (a，0，a)，C (0，a，a)，B (a，a，a)，C(0，a，0)，

∴| |=（-a，a，0)，| |=(a，0，a)

設 =（x，y，z）為A C，B C的公垂線的方向向量

則 #8226; =0 #8226; =0?圯-ax+ay=0ax+az=0?圯y=xz=-x

令x=1，則 =(1，1，-1)又 =(-a，0，0)

由d= = = a。

(本題也可以用轉化為直線A C 與平面ACB 的距離)

筆者把以上的方法傳授給學生，測試表明，效果顯著，達到了教學的預期效果。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”