數學“變式”練習的意義與方法

摘 要： 數學“變式”練習是為了讓學生更加準確地掌握數學解題方法而采取的變換方式。在數學教學中進行數學“變式”練習主要有三個方面的意義：幫助學生多角度地理解數學方法、充當化歸的臺階和用于構建經驗系統。數學“變式”練習的途徑包括數學方法的載體即題目的變式、數學方法使用范圍的變式以及數學方法本身的變式。

關鍵詞： 變式 意義 途徑

所謂變式教學是指在教學中使學生確切掌握概念的重要方式之一，即在教學中用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質屬性，或變換同類事物的非本質特征以突出事物的本質特征。目的在于使學生了解哪些是事物的本質特征，哪些是事物的非本質特征，從而對一事物形成科學概念。而本文所講的變式指的是數學解題方法的變式，是為了讓學生更加準確地掌握數學解題方法而采取的變換方式。

一、在數學教學中進行“變式”練習的意義

（一）“變式”練習幫助學生多角度地理解數學方法

在課堂教學中，學生通過同一個問題做著不同的事情(比如一題多變或一題多解)，多角度地理解數學方法。將直觀問題抽象化，具體問題一般化，盡量排除背景干擾，凸顯數學方法的本質屬性和明晰外延等。這樣，通過變式教學有利于學生真正理解數學方法的本質屬性。比如在求完y= 的定義域后，給出這樣的引申題：已知函數f(x)的定義域為［0，+∞），求函數f(x -1)的定義域。從具體到一般，更加突出了求函數定義域的本質。如果學生能解決這些問題，說明他們是真正理解了所學的知識，而且這個新知識已經納入到他們已有的知識結構中去了。這樣，通過變式可以促進學生的有意義學習，從而擺脫一味的被動灌輸。

（二）“變式”練習充當化歸的臺階

數學解題的一個基本思路是將未知的問題化歸為已知的問題，將復雜的問題化歸為簡單的問題。但由于未知(復雜)問題與已知(簡單)問題之間往往沒有明顯聯系，所以需要設置一些變式在兩者之間進行適當鋪墊，作為化歸的臺階。

另外探究問題需要有合適的潛在距離，對同一問題來說，潛在距離的大小能影響探究活動的難易程度。當兩者的潛在距離較小時，適宜于學生的理解和掌握；當兩者的潛在距離較大時，雖然有利于激發學生的探索能力，但由于難度較大探究失敗的可能性也較大。對一道已知（簡單）題進行“變式”練習實際上就是向各個角度伸出了探索的路，從而也就縮短了未知(復雜)問題與已知(簡單)問題之間的潛在距離。

（三）“變式”練習用于構建經驗系統

現代認知心理學認為知識分為陳述性知識和程序性知識，如果要將陳述性知識轉化為解決問題的能力，則必須保證它們在充分變式條件下得到適當的練習，以便于日后在新環境中應用。從這個角度講變式是在數學活動的教學中，增加活動途徑的多樣性和活動過程的層次性。每個數學活動過程通常都涉及一個或一系列的變式，所有這些變式就形成了一個有層次的經驗系統，成為認知結構的一個重要組成部分。這樣的經驗系統在學生將來探究新的問題時將提供策略性的指導，也就是說變式練習實際上就是將來問題解決的仿真模擬練習。

所以我們在平時的數學課堂教學中進行變式練習，就應該變換數學方法的非本質特征，包括數學方法的載體即題目的變式、數學方法使用范圍的變式以及數學方法本身的變式。只有這樣才能讓學生更加理解哪些是數學方法的本質特征，哪些是數學方法的非本質特征，準確地理解數學方法。組織合理的變式教學，能促進學生有意義地主動學習，幫助學生構建良好的知識結構，進而發展他們靈活的問題解決能力。

二、在數學教學中進行“變式”練習的方法

（一）變題目形式

數學思想和方法必須以題目為載體，但題目的形式并不一定是數學思想和方法本身的要求。所以，我們必須變換題目形式，避免學生形成題目形式上的思維定勢。通常的變式方法有增加條件形成復合題，減少條件形成開放題，條件與結論互換形成逆向求解題等等。

例如，求一已知函數的單調區間，這是一種數學基本問題。但題目：已知函數y=log (2-ax)在［0，1］上是x的減函數，求a的取值范圍。由于逆向出題，雖然求解方法與正向題的方法一致，但思維難度無形中增大了，對學生而言就起到加強理解解法的效果。

(二)變應用范圍

每一種數學方法都有應用范圍，這是不言而喻的。但有些“應用范圍”是我們在講題時由于選題不夠妥當，過于限制于一個范圍之內，也就是加入了數學方法的非本質特征，使得學生對數學方法的使用形成了誤解。所以，我們要通過變應用范圍，來打破這種思維障礙。

例如，求軌跡題一般是解析幾何中的問題。但題目條件的呈現可以是多方面的，并不應僅僅是局限于解析幾何之中，比如我們可以出這樣的題目來打破思維定勢：已知正方體ABCD—A B C D 中，點P為平面BCC B 上一點，且它到直線C D 的距離與它到平面ABCD的距離相等，則點P的軌跡為?搖?搖?搖?搖（此題可考慮出成選擇題）。像這樣，立幾與解幾，抽象與形象，數與形等等都可以相互溝通。

（三）變方法自身

數學概念與方法自身有呈現形式與使用范圍，我們也應注意對數學概念與方法的呈現形式力求豐富，否則容易讓學生形成誤區，干擾對數學概念與方法的準確理解。

比如用描述法表示集合時，集合中的代表元素我們通常用x表示數，用(x，y)來表示點。但這僅僅是習慣而已，并不是規定。所以，2007年江蘇高考試卷的第10題就針對這個問題出了一道選擇題：在平面直角坐標系，已知平面區域A={（x，y)|x+y≤1，且x≥0，y≥0}，則平面區域B={（x+y，x-y)|x，y∈A}的面積為?搖 ?搖?搖?搖。這就提醒我們在平時的教學中要注意概念的呈現不能僵化，要有適當的“柔軟度”。

另外，我們還應對數學方法本身進行深入探究。比如說數學方法的使用有其限制條件，而這一點學生通常不太注意。例如數學中常用的“換元法”對元的范圍就有考慮，不能隨意換元。例如求函數y=sinx- 的單調增區間與求函數y=sin -x的單調增區間的解法就不盡相同。更為巧妙的是2006年重慶高考題解答題第21題的條件：已知定義域為R的函數滿足f［f(x)-x +x］=f(x)-x +x。這一條件若用換元法令f(x)-x +x=t，則有f(t)=t，就會與另一條件f(2)=3矛盾。而實際上換元法應注意元的范圍，這一題就針對這一點進行了巧妙的編擬。

總之，對于數學方法的變式主要目的是對一個成形的數學方法進行多角度的理解，但實際上也為數學方法的建構提供了一個有層次推進的過程。由于未知(復雜)問題與已知(簡單)問題之間往往沒有明顯聯系，所以這些變式客觀上在兩者之間進行了適當的鋪墊，可以作為化歸的臺階。這一些都將幫助學生構建經驗系統，實現真正有意義的學習。

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