高等數學中變上限積分求導淺析

摘要： 在高等數學的學習中，變上限積分的求導對知識點的要求比較多，往往需要使用到計算極限求導以及求定積分的知識。本文針對高等數學中變上限積分的求導，給出新的教學和學習的方法，使學生更好地掌握這部分知識，從而對導數的概念有更深刻的認識。

關鍵詞： 變上限積分 洛必達法則 未定式

在利用洛必達法則解決未定式極限的題目中，含變上限積分的未定式極限對知識點的要求比較多，往往需要使用到計算極限求導以及求定積分的知識，因而是學生感覺頭疼的內容。在教學過程中發現，學生的問題主要是對變上限積分的求導不能熟練掌握和應用。下面就主要研究變上限積分的求導問題，使學生更好地解決變上限積分的求導的相關問題。

定理［１］：如果函數f(x)在［a，b］上連續，則變上限積分函數Φ(x)=∫f(t)dt在［a，b］上可導，且Φ′(x)=f(x)，x∈［a，b］。

定理的證明利用導數的定義以及定積分中值定理便很快地得出。該定理的應用主要是在解決形如∫f(t)dt的函數的求導的題目中，直接將被積函數f(t)中的積分變量t換成x即可。而很多學生也只將學習的重點放在了這里，忽略了對定理證明的理解。所以學生在碰到∫xcostdt和∫e dt這樣的變上限積分求導時也直接將被積函數中的積分變量t換成x，結果導致了錯誤，并且學生也感到很困惑。為了解決學生的困惑，在講述這部分內容的時候可以將書本上的知識點做擴充，讓學生充分理解變上限積分的求導。

在結束書中這部分內容的教授后，可以給學生下面的問題讓學生思考后再講解：

如果函數f(x)在［0，+∞)上連續，那么我們如何利用已經學習的定理解決下面的變上限積分的求導問題：（1）Φ

然后給出正確的證明：

∫f(u)du的求導絕大多數教材中均有介紹，令ψ(x)=∫f(u)du，ψ′(x)=2xf(x )，故Φ′(x)=( ψ(x))′=- ψ(x)+ ψ′(x)=- ψ(x)+2f(x )。

這樣，學生就可以看出并不是直接將被積函數中的積分變量換成就可以解決問題。下面就可以通過具體題目來加深學生的理解了。值得一提的是，在解決較復雜的變上限積分的求導問題時，建議開始時要求學生將求導符號寫成 的形式，例如在講解書中∫f(u)du的求導，這樣可以清晰地看到到底是針對什么變量求導。

例1.求 ∫xcostdt。

∫f(t)dt，∫xcostdt和∫e dt這三種形式的變上限積分的求導是對書中基本內容的提高，在學習了它們的求導以后，學生便會對變上限積分有全面而深刻的認識了。直接將被積函數中的積分變量換成，這僅僅是對書上定理給出的Φ（x）=∫f(t)dt的求導的一種通俗而形象的理解，學生更需要掌握的是如果把積分上限或被積函數做變化以后如何求導，因此對定理的證明也要充分理解。

在高等數學的學習中，我們不僅要掌握計算公式，更要重視對基本概念和定理的本質的理解，這樣才能學好這門課程，為進一步學習其他課程夯實基礎。

參考文獻：

［1］唐瑞娜，白淑巖.高等數學(工科類)，上冊.清華大學出版社，北京交通大學出版社，2004，第一版.

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［3］華東師范大學數學系.數學分析(上冊).高等教育出版社，2001，第三版.

［4］同濟大學應用數學系.高等數學(上冊).高等教育出版社，2002，第五版.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”