“離散數(shù)學(xué)”課程教學(xué)實踐與探索

文章編號：1672-5913(2008)20-0131-04

摘 要：本文首先說明了“離散數(shù)學(xué)”在計算機科學(xué)體系課程中的地位，并描述了其教學(xué)現(xiàn)狀，分析了出現(xiàn)此現(xiàn)象的原因，最后提出解決方案即實例啟發(fā)式教學(xué)方法。然后重點闡述了此教學(xué)方法的特征，同時以“命題邏輯等值演算”和“歐拉圖：歐拉通路與歐拉回路”的教學(xué)講授環(huán)節(jié)為例，詳細論述了此教學(xué)方法的教學(xué)過程。

關(guān)鍵詞：“離散數(shù)學(xué)”；實例啟發(fā)式教學(xué)；教學(xué)實踐；教學(xué)探索

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B

1 “離散數(shù)學(xué)”的地位

“離散數(shù)學(xué)”是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個分支，是計算機科學(xué)中基礎(chǔ)理論的核心課程。基本內(nèi)容包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖論等四大部分，其每一部分中的具體內(nèi)容都是計算機科學(xué)與技術(shù)專業(yè)中必不可少的基礎(chǔ)理論，例如：

●數(shù)理邏輯：命題邏輯、范式、永真性、謂詞邏輯；

●集合論：集合與運算、關(guān)系及其性質(zhì)、函數(shù)的映射與運算等；

●代數(shù)結(jié)構(gòu)：布爾代數(shù)、計算機工程中的邏輯應(yīng)用等。

●圖論：無向圖、有向圖、樹、二叉樹、生成樹、遍歷策略、歐拉回路和哈密頓回路等，這些內(nèi)容都是計算機科學(xué)與技術(shù)專業(yè)基礎(chǔ)理論的祭奠。

因此，一般學(xué)校的信息技術(shù)相關(guān)專業(yè)的課程設(shè)置中“離散數(shù)學(xué)”都在第二或第三學(xué)期開設(shè)，因為這個時候?qū)W生有了一些專業(yè)和數(shù)學(xué)方面的認識，同時為下學(xué)期開設(shè)專業(yè)核心課程做準備。

2 “離散數(shù)學(xué)“教學(xué)中的問題與解決方案

因為“離散數(shù)學(xué)”中的內(nèi)容分為包括四大部分，并且每一部分中又包括很多的概念、定理、性質(zhì)等，內(nèi)容很多，同時相應(yīng)的學(xué)生也應(yīng)該為一、二年級，剛剛接觸到計算機科學(xué)與技術(shù)專業(yè)核心課程，所以，當前“離散數(shù)學(xué)”的教學(xué)現(xiàn)狀為：

☆“背誦式”數(shù)學(xué)——很多同學(xué)用以前課程的學(xué)習(xí)模式來學(xué)習(xí)此門課程，因此出現(xiàn)了“背誦式”的數(shù)學(xué)，很多公式就是死記硬背。

☆普遍存在畏難情緒——受到以前高中數(shù)學(xué)的影響，因此很多人一聽到“數(shù)學(xué)”這個詞就有抵觸心理，造成一定的心里負擔(dān)。

☆“課上能聽懂，就是不會做題，更不能聯(lián)系實際”——無法領(lǐng)會知識的靈魂，因此不能進行知識的遷移

造成以上的現(xiàn)象，從教師和學(xué)生兩方面考慮，在“離散數(shù)學(xué)”課堂教學(xué)中的問題大概有以下幾個方面：

☆知識點太散——沒有重點，學(xué)生接受起來沒有方向。

☆細節(jié)點太滿——內(nèi)容太多，學(xué)生難以面面俱到，都能接受的很好。

☆不活——照本宣科，學(xué)生學(xué)起來沒有興趣。

☆灌注——缺少交流，師生之間因缺少交流而導(dǎo)致機械式教學(xué)，難以舉一反三。

3 解決方案

因為作為一個授課教師，我們“不僅僅授之于魚，而是授之于漁”，要把知識傳授給學(xué)生，同時還應(yīng)該對于他們這些低年級的學(xué)生指明以后發(fā)展的方向，幫助他們確定目標，在自己的專業(yè)領(lǐng)域中找到適合自己的位置。

教師總是強調(diào)“離散數(shù)學(xué)”是計算機應(yīng)用專業(yè)基礎(chǔ)課”，但學(xué)生卻很難從書本上找出該課程在計算機科學(xué)中的具體應(yīng)用背景，認為該課程與計算機沒有太大關(guān)系，出現(xiàn)這個問題的關(guān)鍵是目前該課程采用的教學(xué)方式缺乏與實際應(yīng)用相結(jié)合，學(xué)生不理解為什么要學(xué)這門課，會覺得學(xué)了也沒用，從而產(chǎn)生厭學(xué)情緒。要想很好解決這個問題，必須將離散數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)與相應(yīng)的課程實驗結(jié)合起來，幫助學(xué)生在實際應(yīng)用中對理論有更深一步的理解，因此，需要我們?nèi)ヒ龑?dǎo)，調(diào)動他們的積極性和學(xué)習(xí)的興趣，不僅僅學(xué)好“離散數(shù)學(xué)”，同時還應(yīng)該對以后的后續(xù)課程充滿信心和希望。

因此，針對以上的問題，作者結(jié)合本身的教學(xué)，談?wù)剬τ诖碎T課程的教學(xué)經(jīng)驗—實例啟發(fā)式教學(xué)。具體教學(xué)過程建構(gòu)圖如下圖1所示：

●教學(xué)前的準備。

☆把本堂課知識按條理進行整理，具有一定的層次，思路一定要清晰。這樣學(xué)生就能形成系統(tǒng)的知識體系，不至于太散。

圖1 《離散數(shù)學(xué)》教學(xué)過程建構(gòu)

☆思考適當?shù)膶嵗軌虬研轮R在后續(xù)的課程中找到實例，并在實際生活中有所體現(xiàn)。注意不同課程間的融會貫通）

●教學(xué)中

☆課堂上教師一定要提綱挈領(lǐng)，千萬不可照本宣科，否則知識比較散，會讓學(xué)生找不到方向。

☆重點難點要講透，強化知識點之間的關(guān)聯(lián)。讓學(xué)生能夠把握住重點。

☆一般問題提綱式講授，給學(xué)生留有思考的空間。

☆啟發(fā)式教學(xué)

◆提出問題，重點講解方法，推廣

◆選好結(jié)合實際或者比較生動、經(jīng)典的例題，讓學(xué)生知道怎樣學(xué)以致用。

√結(jié)合其他課程（邏輯電路，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，數(shù)據(jù)庫，網(wǎng)絡(luò)等課程）

√結(jié)合計算機科學(xué)技術(shù)的應(yīng)用實例

●教學(xué)后

☆聽取學(xué)生的反饋，查漏補缺。因為數(shù)學(xué)對于邏輯思維要求比較高，如果有學(xué)生對某一知識點存在疑問可能會對他以后的學(xué)習(xí)造成影響。

☆及時對知識進行總結(jié)。幫助學(xué)生對知識的再次建構(gòu)和重新認識，也是一次學(xué)習(xí)和提高的機會。

☆在后面的教學(xué)中在適合的時間進行知識的關(guān)聯(lián)，一方面形成知識體系，一方面可以幫助學(xué)生復(fù)習(xí)。

4 “離散數(shù)學(xué)”實例啟發(fā)式教學(xué)的教學(xué)方法嘗試

在以上的教學(xué)方法中主要用到了實例啟發(fā)式教學(xué)的教學(xué)方法，因為只有調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和興趣才會收到良好的教學(xué)效果。提出問題解決問題的思路過程如下（如圖2所示）：

圖2 案例啟發(fā)式教學(xué)

☆若干實例——提出問題：使抽象的理論具體化、形象化、生動化，幫助學(xué)生理解

☆講解思路——引出具體的知識點

☆求解——對具體方法與理論系統(tǒng)學(xué)習(xí)和認識（要求突出重點、抓住難點）

☆應(yīng)用——對問題進行解答，強調(diào)學(xué)科聯(lián)系。

5 應(yīng)用實例舉例

實例一：

√講授知識點：命題邏輯等值演算

√采用實例：“數(shù)字邏輯電路”——表決電路邏輯函數(shù)

☆若干實例——提出問題

用學(xué)生都很熟悉的投票中使用的表決現(xiàn)象，即少數(shù)服從多數(shù)。問題：若想實現(xiàn)這樣的一個電路（投票人用終端進行投票，在計算機中統(tǒng)計出相應(yīng)投票的結(jié)果），則，我們應(yīng)該怎樣實現(xiàn)此電路。（注：在這個階段學(xué)生對于數(shù)字邏輯電路還是一個模糊概念，在此只是簡單描述問題。）

☆知識點講解——引出具體的知識點

若想實現(xiàn)此電路則必須要有電路圖，而電路圖的依據(jù)和標準是什么呢？就是邏輯函數(shù)，同時，電路的費用問題必然是：等值下的函數(shù)形式越簡單其電路越容易實現(xiàn)，并且費用越低。引出具體的教學(xué)內(nèi)容：命題邏輯的等值演算。

☆求解——對具體方法與理論系統(tǒng)學(xué)習(xí)和認識

系統(tǒng)的講授具體的命題邏輯等值演算的公式和定理，并通過大量的實際函數(shù)練習(xí)進行講解，讓同學(xué)們熟悉此過程。

☆應(yīng)用——對問題進行解答

1）問題描述真值表（以3人表決電路為例）

圖3 3人表決電路圖原電路圖 圖4 演算后3人表決電路圖

2）結(jié)果描述——用邏輯函數(shù)來描述問題（回顧用真值表構(gòu)造命題函數(shù)）

3）函數(shù)等值演算（重點講述此過程：等值演算的各種方法和公式）

4）具體電路——（引申，此部分對學(xué)生起一個引導(dǎo)作用，只是簡單描述）。

函數(shù)是由 、 和 三個合取項相析取形成的，因此在電路中首先構(gòu)造合取項，而后由合取項的結(jié)果再相析取。其原函數(shù)與等值演算后命題函數(shù)所代表的具體電路如下圖3和圖4所示。在圖中可以明顯得以區(qū)別。

實例二：

√講授知識點：歐拉通路與歐拉回路

√采用實例：應(yīng)用實例——一筆畫問題

☆若干實例——提出問題

學(xué)生對小時候的一筆畫游戲都還是記憶猶新，在本節(jié)中采用比較熟悉的幾個圖，讓學(xué)生判斷是否可以一筆畫出。如圖5-7所示：

☆知識點講解——引出具體的知識點

在游戲中的畫法都是憑著直覺和推測來完成的，對于都很熟悉其中圖5（五角星）的繪圖過程如下圖8所示。若想判斷以上兩圖是否可以一筆畫出，也不妨也可以按照游戲中的方法來推測一下，那具體有沒有科學(xué)的判定方法。因此本節(jié)中介紹一種歐拉圖，可以解決此問題。

☆求解——對具體方法與理論系統(tǒng)學(xué)習(xí)和認識（需要重點突出講解知識點）

歐拉圖中包括歐拉通路和歐拉回路，本節(jié)介紹其具體含義和判定方法：

歐拉通路：通過圖中所有邊一次且僅一次行遍所有頂點的通路為歐拉通路。

歐拉回路：通過圖中所有邊一次且僅一次行遍所有頂點的回路為歐拉回路。

通過分析，若走遍了所有的邊一次僅一次，則必然走過了所有點，并且同時不出現(xiàn)重復(fù)走過的邊，恰恰滿足了所說的“一筆畫”問題的解決方案。

歐拉回路的判定條件：若歐拉回路則所有的頂點肯定存在有一條邊為流入，另外一條不重復(fù)邊為流出。因此，deg（V）即節(jié)點度數(shù)必為偶數(shù)。

歐拉通路的判定條件：若為通路則在圖中除了具有流入和流出性質(zhì)點以外，肯定存在兩個特殊點：流入沒有流出（終止點）和流出沒有流入（起始點）。因此，必存在兩個奇數(shù)度節(jié)點。

☆應(yīng)用——對問題進行解答

可以看出，歐拉通路和歐拉回路都是一筆畫的解決方案，除此以外都不可能成為“一筆畫”。其中圖5，deg（V）=2為偶數(shù)，則為歐拉回路，即可一筆完成。圖6中，存在2個點度數(shù)等于5（奇數(shù)度），則為歐拉通路，并且此兩

點分別為通路的起點和終點，而圖7中，存在4個點度數(shù)等于5（奇數(shù)度），因此不可能一筆完成。（在此可以讓學(xué)生充分發(fā)揮其想象力，得出不同的路徑，以激發(fā)學(xué)生的興趣和熱情。）

☆引申——對知識的重新認識、建構(gòu)和應(yīng)用

然后引入稍微有些難度的題目，以鞏固知識，并培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，并調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

6 總結(jié)

通過以上對“離散數(shù)學(xué)”課程中實例式教學(xué)過程的描述，使學(xué)生在以實例為基礎(chǔ)的前提下對知識的適用范圍有所了解，消除了“學(xué)習(xí)此課程有什么用處”的疑惑，同時，注重學(xué)生能力的培養(yǎng)，加強了不同課程之間的融會貫通，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，并且讓學(xué)生了解后續(xù)課程的重點和方向。在知識的講解過程中通過知識的多次建構(gòu)，達到對知識的掌握。此教學(xué)方法在已在天津外國語學(xué)院教育技術(shù)系的課堂教學(xué)中取得了良好的效果。

參考文獻

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[2] 左孝陵．離散數(shù)學(xué)[M]．上海科技文獻出版社．

[3] 耿素云，屈婉玲，王悍貧．離散數(shù)學(xué)教程[M]．北京大學(xué)出版社．

Abstract: This paper explained the status of Discrete Mathematic in computer sciences， described its concurrent instructional situation， analyzed the reasons which caused such a phenomenon， and proposed related solutions， that is， Heuristic Instruction. The focus of this paper was the characteristics of such an approach. At the same time， taking Propositional Logic Equivalent Calculation and Eulerian Graph: Euler trail and Euler tour/circuit as examples， the authors discussed the instructional process of this approach. Heuristic Instruction was directed by examples.

Key words: Discrete Mathematic、Example heuristic teaching、Teaching practice、teaching exploration

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