離散數學教學聯系計算機實踐的探索

文章編號：1672-5913(2008)20-0113-03

摘 要：本文結合作者對計算機專業學生多年離散數學教學經驗，介紹了在教學中結合計算機領域背景實際問題改革教學方法和教學內容的經驗，并總結了該方法在實際教學中的效果。

關鍵詞：離散數學；教學方法；實踐教學

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B

1 引言

在我國目前高等教育體系中，離散數學課程一般由計算機專業教師負責教學，有別于其他公共課類數學，如高等數學、線性代數等。然而對計算機專業學生來說，往往意識不到離散數學與計算機科學之間的關系，誤將其看作公共數學課，學習興趣不高，而且主動性較差，不能將課程內容與計算機領域實踐相結合。

針對這種情況，應改進離散數學的教學方法，加強實踐環節，使學生對離散數學的認識不僅僅停留在“數學課”的基礎上，而是掌握數學思維、數學方法，解決計算機領域問題，如何開展實踐教學成為實現上述目標的關鍵。很多高等院校計算機專業教師提出了自己的教學方法，本文作者在教學工作中，借鑒了上述方法，并結合自身對計算機專業本科生多年離散數學教學經驗，在教學中結合計算機領域背景實際問題，改革教學方法和教學內容，激發了學生的學習興趣，而且加強了學生解決實際問題的能力。

2 教材選取與教學內容安排

目前，國內出版的高等院校離散數學類教材，一般包含四個部分：數理邏輯、集合論、代數系統和圖論。國內教材的特點是數學性強，結構明確，偏重概念、定理、數學推理證明等，但是缺少實例講解。而國外經典離散數學教材，其特點往往從解決問題的方法入手，如Discrete Mathematics and Its Applications一書，結構為：邏輯集合函數基礎、算法整數矩陣基礎、數學推理、計數、高級計數技術、關系、圖、樹、布爾代數、計算模型。國外教材的特點是篇幅較長，對數學概念和定理的著墨較少，而側重于問題的解決，實例精彩，但是易使學生難以把握重點。

國內、國外兩類教材各有千秋，但是針對學生特點和教學目標，我們還是選擇了尤楓、顏可慶編寫的《離散數學》(機械工業出版社2005年版)。該教材知識點清晰，便于學生掌握。雖然欠缺實例，但是實例部分可以由教師講課時補充，理論和實例二者互為補充，又有所區別，學生可以在掌握關鍵知識點后，根據自身情況舉一反三，訓練理論聯系實際能力。

基于上述考慮選取教材后，仍舊按照教材結構安排教學內容，但是講義中保證每個重要知識點均輔以實例。就教學時間的安排來說，減少概念、定理的講解時間，這樣可以在有限的課時中保證一定的時間用于實例擴展講解。目前，離散數學傳統課時安排不提供上機實驗課時，因此，鼓勵學生以課外作業的方式，結合知識點，完成相關計算機程序模擬、課程設計等實踐作業，作為平時成績考核指標。因此，在這種教學安排下，如何選擇實際案例，是保證學生興趣、提高教學質量的關鍵。

3 教學中案例選取

在有限的教學時間內，既要保證學生對離散數學知識點的理解掌握，又要培養學生使用離散數學解決計算機領域實際問題的能力，這就對教學案例的選取有較高要求。根據每個知識點的側重點不同，在教學過程中作者盡量選擇與計算機領域新技術、實際問題相關聯的問題，以課堂講解、課外作業的形式完成實例教學。以下以離散數學的主要內容為例，介紹了作者在教學中設計、選取的實際案例。

3.1 數理邏輯

數理邏輯是以數學化方法研究推理規律的學科，研究的中心問題是推理，離散數學課程介紹了數理邏輯最基本的內容。計算機科學的基礎就是布爾邏輯，邏輯更是人類日常思維的體現，但是數理邏輯中的眾多數學符號、定義定理往往使學生將其當作枯燥繁復的數學知識點看待，缺少學習興趣，因此有效的實例是激發學生興趣、培養學生聯系實踐的關鍵。在此部分教學中，我們選擇計算機領域實例：如布爾檢索、邏輯電路圖設計、專家系統原理等，結合到教學過程中，取得了較好的效果。同時還注意增加相關數學發展史介紹，增加教學的趣味性。

邏輯聯結詞是數理邏輯中的基本知識點，就其本身概念來說，屬于易于掌握的知識點。但是這作為學生學習離散數學的開端，合適的實例能使學生認識到該課程在計算機領域中的實際作用，能啟發學生對后續課程的思考。因此，教學過程中設計了布爾檢索實例。

布爾檢索技術目前廣泛用于網絡資源、Web頁面搜索中，大多數學生都使用過類似于google，baidu這樣的搜索引擎，部分同學還使用過高級檢索功能，了解各種查詢條件可以根據需要以并且、或者等方式組合。在這種背景下，引入布爾檢索概念中，聯結詞AND用于匹配包含兩個檢索項的記錄，聯結詞OR用于匹配兩個檢索項之一或者兩項均匹配的記錄，而聯結詞NOT用于排除某個特定的檢索項。布爾檢索中的這些概念緊密地與合取、析取、否定聯結詞知識點聯系起來。例如，讓學生設計如下檢索語句：

例題1：用布爾檢索查找關于Linux下查看進程和殺進程的命令

答案：Linux AND (查看進程 OR 殺進程) AND 命令

通過上述實例教學，不僅使學生加深了對邏輯聯結詞的認識，更重要的是，使他們進一步掌握使用聯結詞組合查詢條件以精確細化定位所需的信息的方法。學生們面對Internet上紛繁海量的信息，如何快速準確找到有用信息，這不僅是大學學習中必備的技能，也是日后工作科研中不可或缺的環節。作為本課程的第一個實例，馬上能使學生感覺到實用性和趣味性，便于后續課程的展開。

此外，為了培養學生認識到數理邏輯與計算機實踐的聯系，綜合利用命題翻譯、命題推理知識，還增加了邏輯電路圖設計實例。只需要向學生介紹最簡單的三種邏輯門：非門、與門、或門，即可完成具有實際功能的邏輯電路設計。如下例：

例題2：本校網絡中心機房裝有自動報警裝置。僅當控制開關打開時它才工作。如果開關合上，那么當機房溫度超過26℃或者有人進入機房時，就會發出警報。請設計這個控制線路。

答案：第一步：設輸入信號：

C1：控制開關打開(T-打開 F-關閉)

C2：機房溫度大于等于26 ℃( T-大于等于26 ℃ F- 低于26 ℃ )

C3：機房內有人( T-有人 F-無人)

輸出結果：

S：報警器響( T-響 F-不響)

根據題意畫出真值表(略)。

第二步：根據真值表得到表達式S的命題公式：

C1 ∧ (C2∨C3)

第三步：根據命題公式畫出電路圖(略)。

雖然學生在學習離散數學前尚未學習過數字電路、數字邏輯等相關課程，但是電路設計直觀性強，對預備知識要求較少：只需要掌握三種邏輯門電路的輸入、輸出特性即可，無需關心內部電路原理，所以電路設計實例的引入效果較好，不僅訓練了學生綜合運用命題翻譯、分析的知識點，還為以后學生學習數字電路奠定了基礎。教學中不僅課堂上引入電路設計實例，還布置了課外作業，供有興趣的學生選作，該課外作業的考核成績記入平時分，從而也達到了鼓勵學生自主學習的目的。

3.2 集合論

此部分內容中樸素集合論的知識較容易理解，但是涉及到“關系”知識點時，由于新的概念、定義較多，學生往往接受困難。針對該知識點，教學中的首要目標是讓學生把握關系的實質，選用的實例多用來說明關系在計算機領域的應用。如關系數據庫，以常見關系數據庫SQL Server為例，使學生意識到關系的本質就是一些n元組的集合。

關系的運算本質可轉化為矩陣運算，學生先期已在線形代數課程中接觸過，對其興趣不高。因此舉實例時，先介紹矩陣運算在計算機加密解密、壓縮、圖像處理等方面的應用，激發興趣，而后介紹相關矩陣運算的計算機實現方法。而且本章的重要知識點，計算關系傳遞閉包的Warshall算法，可以鼓勵學生自己編程實現，這些都促進了學生對知識點的掌握。

本部分內容中，另一個令學生難以理解的抽象知識點是可數集合與不可數集合的概念，教學時實例選擇了趣味性的“希爾伯特旅館”：

例題3：希爾伯特旅館中有無窮多個房間，房間號碼為1，2，3，4，……。有一天開大會，所有房間都住滿了。第二天，旅館又來了一個龐大的代表團要求住旅館，他們聲稱有可數無窮多位代表一定要住，這又把旅館經理難住了。該如何為客人安排房間呢？

答案：讓1號房間客人搬到2號，2號房間客人搬到4號……，k號房間客人搬到2k號，這樣，1號，3號，5號，……房間就都空出來了，代表團的代表都能住下了。

此外還鼓勵學生設計計算機程序，以計算機圖形方式顯示可數集合(如自然數集合)中的元素如何一一有序排列。這些都有助于學生理解抽象概念。

3.3 圖論

圖論是離散數學中的重點，也是難點。但是圖論與計算機科學的聯系更明顯、重要，而且又是后續課程如數據結構的基礎，因此在進行此部分教學時，學生能主動意識到圖論與計算機學科的聯系。但是，因為圖論內容抽象、相關算法雖然可以使用計算機程序實現，但算法實際用途對于低年級本科生來說還意識不到。因此，此部分的實例多為趣味性問題，如旅行推銷員問題、代價最低網絡通路等問題。通過這些問題，提高了學習興趣，學生可根據個人情況選作一些課外實驗，實現部分算法的編程。

4 多媒體運用與課外實驗設計

針對重要知識點設計了與計算機領域相關的實例僅僅是改進教學效果的一個方面，采取何種教學方式使學生更好地接受、更投入地深入學習也是影響教學效果的重要因素。我們考慮教學方式的改進主要集中于兩個方面：多媒體課件的改進和課外實驗的設計。

4.1 多媒體課件在教學中的應用

多媒體課件已經在高等教育中應用多年，目前大多數高校中相當大比例的課程均使用多媒體課件，但在數學課中，傳統板書授課方式卻仍然占很大比例。數學課往往注重推導，傳統板書與課件相比，更容易集中學生注意力，并且板書速度符合學生接受新知識的反應速度，效果較好。但是課件的優點是相同課時內，提供的信息量更大，而且如果能有效引入圖片、音頻、視頻素材，能更好地激發學習興趣。

為了在有限的離散數學課時內引入更多計算機領域實例，教學過程中，我們在保證板書仍然占據一定比例的前提下，采用了多媒體課件。關鍵定理證明、例題推導，仍然使用傳統板書，而課件不僅提供課堂全部信息，還增加了趣味性的背景知識(如相關數學家生平介紹、相關領域知識發展簡史等)、圖文并茂的實例。這些內容如果不借助計算機課件，既不能在短時間內完整呈現給學生，也無法調動學生興趣。

4.2 課外實驗設計

前面已經介紹過，目前離散數學傳統課時安排不提供上機實驗課時，而在講課中引入的眾多實例，大多是可以在計算機上操作模擬、或者編程實現的。如果僅僅讓實例停留于上課時的講解，還是無法進一步調動學生的自主性和動手能力。因此，鼓勵學生以課外作業的方式，完成相關計算機實驗，并且該課外成績作為平時成績考核的指標之一，這樣就激勵了學生參與的熱情。

具體實行上，我們編寫了課外實驗指導講義，在課堂上講解相關知識點時簡單介紹，供學生自由選擇。根據知識點分布，共設計了10個課外實驗，依次如下：

實驗一：練習使用布爾檢索。使用google(www.google

.com)的高級搜索，或者中國國家圖書館(www.nlc.gov.cn)的書目檢索系統，使用布爾檢索組合各種查詢條件；

實驗二：自動投幣售貨機的電路圖設計；

實驗三：編程實現Warshall算法計算關系的傳遞閉包；

實驗四：編程實現構造一個偏序集合的哈斯圖；

實驗五：編程實現由偏序集合構造全序集合(即拓撲排序算法)；

實驗六：利用計算機圖形表示可數集合中成員的排列方法；

實驗七：從網上下載NAUTY軟件，做實驗檢查其判斷兩個圖是否同構的效率，并加以分析；

實驗八：編程實現弗留利算法構造連通多重圖的歐拉回路；

實驗九：編程實現Dijkstra算法求最短路問題；

實驗十：編程實現利用深度優先搜索構造圖的生成樹。

其中，圖論部分的程序題較多，而且題目難度對于正在學習離散數學的計算機專業低年級本科生來說過于偏難。但是考慮到圖論是后續課程數據結構的基礎，數據結構課程將涉及到這些算法與編程實現，所以將其選編入課外實驗中，供學有余力且成績優秀的學生課外選作。這樣題目難度層次拉開，有難有易，不僅可以供不同層次學生選作，而且可以激發學生的挑戰意識。

上述課外實驗題目是在教學過程中不斷調整、增加的，目前的題目規模已經經過兩屆教學實踐，學生的參與率逐年升高，反應較好。以2008年春季學期的一個教學班為例(約150名大學一年級本科生)，大部分同學至少選作一道題，均提交了源代碼或實驗報告的電子文檔。小部分同學提交了較多課外實驗結果，并且程序代碼水平較高，在期末考試中，這部分同學的成績普遍處于優秀級，也體現了課外實驗對增加學生學習興趣，促進學習成果所起的積極作用。

5 教學效果總結

離散數學教學的最終目的是為學習計算機科學專業的學生提供必需的數學基礎，使其理解數學概念的重要性以及這些概念為什么對應用而言是重要的。在這個目標的驅使下，我們教學中融合了盡量多的實例，設計配套的教學多媒體課件，同時設計了課外實驗供學生選作，以期激發學生的學習興趣和自主性，能夠主動思考如何將數學應用于計算機實踐中。

在這套教學方式下，我們的考核標準也作了相應調整。期末考試仍然采用傳統閉卷考試方式，題目也集中于對關鍵知識點、基本題型的考察。但是總成績構成中，加大平時成績所占比例，平時成績除了基本作業、考勤考核之外，加大學生選作課外實驗的獎勵分數。在這樣的激勵考核標準下，學生學習興趣有所提高。并且采用這種教學方式和考核體系后，經過對部分學生的跟蹤詢問發現，進入高年級后，學生自主感覺到離散數學所學習的數學知識對后續課程“有作用”的比例增大。這也表明在教學中引入實例收到了較好的效果。

不過隨著計算機學科的不斷發展，在離散數學教學方式也需不斷完善，與計算機實踐結合，課堂教學中引入實例，課外增加實踐實驗的方式，是離散數學教學中的有益嘗試，對培養學生以數學方法解決問題的能力起到了積極的作用。

參考文獻

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