“點陣中的規律”教學設計與評析

教學內容：北師大版義務教育課程標準實驗教科書五年級上冊第82~83頁。

教學目標：

1.在生動有趣的觀察、操作活動中尋找圖形的特點，從而探索出點陣中的規律，并體會圖形與數的聯系。

2.通過數學活動，提高歸納、概括和邏輯思維能力，感受數學與生活的密切聯系。

3.增強審美意識，培養數學審美能力。

教學重點：引導學生發現和概括點陣中的規律。

教學難點：能從不同的角度觀察到“點陣”圖形的不同排列規律，尋求多種解決問題的方法，體會圖形與數的聯系。

教學過程：

一、聯系生活，激發興趣

1.出示實物（地磚）。

（1）同學們，你知道，裝修要用哪些材料嗎？（木料、地磚……）

（2）教師出示實物（地磚），同學們拿出地磚圖片。仔細觀察。你從這塊地磚上看到了什么？（有25個防滑塊。）

（3）你是怎樣看出的？（橫著看，每行5個，有5行。5×5=5=25）

2.引導滲透，理解“點陣”。

（1）在鋪地面時，有時不需要這么大的地磚，就要將地磚進行切割，如果切掉這一行一列就成了怎樣的圖？（學生思考回答，教師展示相應的圖片。從右邊往左邊看。）

（2）如果我們將一個個防滑塊看作一個個點，就成了“點子圖”。人們把這樣的點子圖叫做“點陣”。早在2000多年前，古希臘的數學家們就已經利用一些有序排列的點子圖形來研究數，發現和總結數的一些特征。

二、自主探索，發現規律

1.操作觀察，發現規律。

（1）仔細觀察上面的點陣圖，每個點陣分別有多少個點呢？

（2）你是怎樣得到的？教師根據學生的回答（預設）板書：

1=1×1=1

4=2×2=2

9=3×3=3

16=4×4=4

25=5×5=5

（3）第6個“點陣”是怎樣的？你能畫出來嗎？你能用算式表示出來嗎？

（4）第7個，第8個……第100個呢？

2.合作討論，發現規律。

（1）剛才我們用橫著數的方法來研究點陣中的規律，除了橫著劃分，還有其他方法嗎？以5×5為例，先自己獨立思考后小組討論。（學生思考后，教師出示“點陣”圖。）

（2）匯報交流，教師相機板書：

1+3+5+7+9=25=5×5=5

（3）1+3+5+7+9與5×5這兩個算式之間有沒有必然的聯系呢？4×4是否也能寫成這樣幾個數相加呢？試著寫寫看。

啟發學生寫出：1+3+5+7=16=4×4=4

（4）這個算式可以用哪個點陣圖來表示？

3.歸納推理，概括規律。

（1）從以上兩個式子里，你得到哪些啟發（有什么規律）？你能不能寫出幾個類似這樣的式子？可以用怎樣的點陣來表示？請你寫一寫，畫一畫。

學生（寫出后）匯報，教師引導學生概括出如下規律：

1+3=2×2=2

1+3+5=3×3=3

1+3+5+7=4×4=4

1+3+5+7+9=5×5=5

1+3+5+7+9+11=6×6=6

……

1+3+5+7+9+……+197+199=100×100=100……

（2）說明并認識規律。

從1開始的連續幾個奇數和，等于幾乘幾，就是幾的平方。

4.多方思考，不斷提升。

（1）同學們橫著劃分（或用折線劃分）“點陣”，得到了以上的規律，你們還能想出其他的劃分方法嗎？（小組討論、思考后，出示下圖。）

（2）你能根據上面的“點陣”寫出相應的算式嗎？

根據學生寫出的算式，形成如下板書：

1=1=1

1+2+1=2×2=2

1+2+3+2+1=3×3=3

1+2+3+4+3+2+1=4×4=4

（3）引導思考：點陣與數的關系。利用“規律”推出以下算式：

1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5=5

1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6=6

……

1+2+3+4+5+6……+99+100+99+……+3+2+1=100×100=100

（3）這些算式相應的點陣圖是怎樣的？（自己畫一畫。）

（4）從以上的算式中，你又發現了什么規律？

自然數從1開始連續加到幾，再從幾倒過來連續加到1，結果就是幾乘以幾，也就是幾的平方。

三、反饋延伸，拓展規律

1.同學們通過研究正方形“點陣”，發現平方數原來如此神奇。其實除了正方形的點陣外，還有其他的點陣，如三角點陣、長方形點陣、螺旋點陣等多種形式。

2.觀察下列點陣，并在括號里填上適當的算式。

（1×2）（）（）（）

（1）各個點陣的算式應該怎樣寫？

（2）你是怎樣想的？

（3）你能畫出第5個點陣并寫出算式嗎？

（4）你發現了什么？（每個點陣中的點數可以寫成兩個連續自然數的積。）

3.觀察下面點陣的規律。

（1）畫出下一個點陣。

（2）根據點陣，寫出相應的算式。

（3）你有什么發現？（每個點陣中的點數可以寫成從1開始的幾個連續自然數的和。）

4.觀察下圖中的幾個圖形：

（1）按規律畫出下一個點陣。

（2）每個點陣中的點數各是多少？

（3）將這個點陣與長方形點陣比較一下，你發現了什么？

（4）將這個點陣用相應的算式表示出來。

（教師引導學生寫出：1+1×21+2×31+3×41+4×5）

（5）總結這個點陣中點數的規律。（點陣中的點數可以寫成連續兩個自然數的積加上1。）

5.讓學生設計點陣并寫出算式，教師擇優展示，進一步感受數學美。

四、總結提升，促進發展

今天我們研究了什么？是怎樣研究的？通過今天的學習，你有什么收獲？

評析：數學是對客觀世界數量關系和空間形式的一種抽象。因此，在教學中一方面要盡可能讓抽象的數學概念在生活中找到原型，另一方面要創造條件，使學生能夠用學到的知識去解釋日常生活中的數學現象，并能解決一些數學問題。本節課充分體現了“數學教學是數學活動的教學”這一新課程理念。通過一個個有意義的數學活動，引導學生在體驗和感悟中學習知識，在探究和思考中發現規律，發展能力，滲透數形結合的思想。

1.注重知識性和情趣性的統一。教師教學時學生能積極思考，主動參與，其間的奧妙全在一個“趣”字。為此，我們呼喚“知情”統一的課堂，要盡可能選取學生熟悉的、感興趣的學習材料，組織生動活潑、趣味盎然的教學活動，讓學生在高漲的學習情緒中主動建構知識。本節課，教師利用生活原型“地磚上防滑塊的個數”巧妙地將數與形聯系在一起，安排了數點數、畫點陣圖、寫算式等觀察、操作、猜想、推理活動，激發學生主動參與對點陣與數之間關系的認識、感受和體驗，培養學生的觀察、想象與歸納概括能力，提高學生合作交流與創新的意識。

2.注重“生活味”和“數學味”的統一。如果說生活“味”是親切自然、豐富多彩的，那么數學的“味”則是抽象嚴謹、精練深刻的。數學教學應使“生活味”與“數學味”有機融合，相得益彰。本節課，教師選取了學生非常熟悉的“地磚”，營造了豐富的生活場景，利用地磚上“防滑塊的個數”引出“點陣”，把間接的數學知識與直接的生活經驗緊密結合起來，引導學生對生活中積累的數學經驗進行總結、升華，有效地掌握數學知識，揭示數學本質，使學生看得見，畫得出，理解得深刻。不需要去記憶公式，卻能將這些規律牢牢地印在腦中，應用在解決問題中。使學生在生活經驗數學化、數學知識實踐化的過程中體會到數學就在我們生活中。

3.注重基礎性和發展性的統一。對小學生而言，要注重感知和體驗，讓他們在豐富和堅實的基礎上主動建構。本節課在學生積累了較為豐富的感性認識后引入“點陣”概念，然后通過看一看、數一數、畫一畫、寫一寫、猜一猜等學習活動，領悟“點陣”中隱含的規律。學生在此基礎上獨立思考，動手操作，形成多樣化的劃分正方形點陣的方法，培養思維的靈活性。其中，在尋找螺旋點陣的規律時，引導學生與長方形點陣進行比較，使學生受到數學思想方法的熏陶。最后通過“設計點陣”的活動，培養了學生的估測能力和空間想象能力。所有這些，都在一定程度上促進了學生數學素養的提高與人格的完善，使基礎性和發展性得到和諧統一。

4.注重數與形的統一。“嘗試與猜測”這部分內容是課程標準中的數形結合思想在教材中的具體體現。本節課，教師始終以看圖、畫圖、想象圖為基礎，由圖想數，由數想圖，建立數與形兩者之間的聯系，并使學生感受到對數的研究可以從圖形去認識，同時通過數也能研究形，從而很好地滲透了數形結合的思想。

5.注重學生主體與教師主導的統一。新教材強調“以人為本”，發展人的主體性，要充分注意學生在學習中的主動性和積極性的發揮。本節課內容充實，學生活動量大，較好地處理了教師的引導和學生自主合作學習的關系。如，教學中教師巧妙地將探索“拐彎數”的方法滲透于“切割掉一行一列是怎樣的圖”，當教師提出“除了橫著數的方法外，還有沒有其他的方法”時，學生立即從“切割”地磚的過程中想到拐彎數的方法，整節課以探索規律活動為主線展開教學，鼓勵學生用自己的思考方式主動、積極地探究、操作、發現和總結點陣規律。

作者單位

江蘇省溧陽市教師進修學校培訓處

江蘇省溧陽市教育局教研室

◇責任編輯：李瑞龍◇