從“圓”的教學看數學應用意識的培養

在一次數學測試中，教師出了這樣一道實踐性題目：“要在200米的環形跑道上賽跑，如果把6個起跑的學生站成一橫排，你有什么想法？”這道題不是以常規的練習題型出現，而是通過創設一個問題情境，啟發學生應用“半徑決定圓的大小”，抓住“半徑不同的圓周長不等”這一問題的實質來進行思考。結果不少“優秀生”也只會按照常規解答，不能令人滿意，值得我們深思。也許我們的學生在基礎知識和基本技能方面都很不錯，但為什么靈活地、綜合地運用所學數學知識，機智地解決實際問題的能力卻很不理想呢？究其原因，主要是學生缺乏數學的應用意識和能力。

認知數學知識本身是數學應用的重要方面

實踐是認識的源泉，又是檢驗認識正確與否的唯一標準，認知數學與應用數學是一個事物的兩個方面，密不可分。例如，認識圓的教學要從“生活中很多物體都是圓形的”引入，如讓學生直觀地看到圓形的輪子能使汽車平穩地行駛，親身感知這是“圓”的特征所決定的。人們在生活中利用圓具有的特殊性質，把這些性質應用到制造圓形的輪子上，讓學生體會數學來源于生活又應用于生活。同時，讓學生親自動手用硬紙板做實驗：如果車軸不裝在圓的中心上，結果會怎樣？如果把街道上的窨井蓋做成正方形或長方形的，結果又會怎樣？經過觀察、比較、思考，認識到車軸只有裝在圓的中心，車子行駛才平穩；窨井蓋只有做成圓形的，才不會掉到窨井里。從而認識圓心、半徑、直徑以及同圓或等圓的半徑、直徑相等。

在圓周長的教學中，有的學生先用繩子圍圓一圈，再用尺量繩子的長度；有的學生直接用軟尺繞圓一周進行測量；有的學生用圓在直尺上滾動，得到圓的周長，進而發現任何一個圓的周長都大約是直徑的3.14倍。

在認識圓面積的計算方法時，先讓學生進行猜想嘗試（如下圖）。

他們先發現圓面積小于以直徑為邊長的大正方形的面積，再用圓的面積依次與一個、兩個、三個以圓的半徑為邊長的小正方形面積進行比較，他們會發現：4個小正方形面積＞圓面積＞3個小正方形面積，即

圓面積=小正方形面積的3倍多一點

=小正方形邊長平方的3倍多一點

=圓半徑平方的3倍多一點

最后把圓面積轉化為長方形面積。實驗證明：圓的面積=半徑平方的3.14倍。由此可見，認識數學知識的過程，實質就是數學知識的應用過程。

“解決問題”是數學應用的基本平臺

在圓的教學中，教師要結合學生的學習狀況，充分利用教學內容自身的魅力，及時為學生提供應用數學知識解決的實際問題。要精心選擇那些能較好地體現數學基本原理的應用材料，使學生能靈活應用數學知識的原理解決簡單的實際問題。如當學生感知了圓是一種最普通、最實用、最完美的幾何圖形，進而認識圓的特征及各部分名稱，在理解半徑決定圓的大小，圓心決定圓的位置，掌握圓周長和圓面積的計算方法等的同時，讓學生應用所學知識，解決一些實際的應用問題。例如：

1.展覽館門前圓形水池的周長是78.5米，它的直徑是多少米？半徑是多少米？

2.一臺壓路機前輪半徑是0.4米，如果前輪每分鐘轉動6周，10分鐘可以從路的一端壓到另一端，這條路約長多少米？

3.用一條長20米的繩子圍著一棵樹干繞6圈，還余下1.16米，樹干的直徑大約是多少米？

4.一條小路長46.1米，小明在路上滾鐵環，鐵環直徑30厘米，從路的一端滾到另一端，鐵環要轉多少圈？

5.你能求出電扇葉端點轉動一圈軌跡的長是多少嗎？怎么求？

6.一塊圓形草坪周長是50.24米，這塊草坪占地多少平方米？

7.一個養魚池周長是100.48米，中間有一個圓形小島，半徑是6米，這個養魚池的水域面積是多少平方米？

8.從一個長5分米，寬4分米的長方形木板上鋸下一個最大的圓，剩下的木板是多少平方分米？

通過數學知識的應用，讓學生明白數學來源于現實世界，又應用于現實世界的道理，要盡可能多地用事實展示數學是怎樣從實際中被抽象出來，又怎樣應用于解決實際問題的全過程，有目的、有計劃地培養學生的數學應用意識，形成應用能力；養成用數學的眼光去觀察、分析、解決日常生活中的實際問題的習慣，將學生的數學應用意識升華為數學應用能力。例如：農民張大伯要用籬笆在墻邊圍一個一面靠墻的雞圈，已知籬笆的總長為20米，張大伯應該怎樣圍，才能使圍成的雞圈面積最大？

在討論和嘗試中，學生考慮到可以圍成正方形、長方形或半圓形等。如下圖。

進而通過畫圖，仔細觀察和計算進行判斷：

正方形面積：20÷3≈6.67；6.67×6.67〧44.49（平方米）。

長方形面積：10×5=50（平方米）。

半圓的面積：20×2÷3.14÷2≈6.37（米），6.37×6.37×3.14÷2≈63.69（平方米。）最后得出：雞圈圍成半圓形，面積最大。

在數學應用中，應該適時引導學生把零散的知識系統化，使單一的應用綜合化，提高學生綜合應用數學知識的能力。例如：求左圖陰影部分的面積（單位：厘米）。在思考和解題的過程中，需要綜合應用圓的面積、扇形面

積、等腰直角三角形、三角形內角和以及組合圖形面積計算的知識。

在知識的應用過程中，教師要善于通過提供具有典型意義的實際問題，啟發學生靈活應用數學知識解決問題。例如：已知下圖中正方形的面積是9平方厘米，求圓的面積。

解答這道題就不能簡單機械地應用公式，而需要靈活應用數學知識解決問題。綜合學生的解答有以下三種情況：一是死記公式，發現不了正方形面積與半徑之間的關系，結果找不到解題途徑；二是根據正方形的面積是9，推斷出半徑必定是3，再循規蹈矩地算出圓面積；三是能靈活應用數學知識發現正方形的面積是9，就等于圓的半徑平方，于是巧妙地算出圓面積是：9×3.14=28.26（平方厘米）。如果把正方形的面積變為8平方厘米，那就只有能靈活思維（第三種方法）的學生才能解答了。

學會數學思想方法是數學應用的靈魂所在

數學教學是數學活動的教學，而數學思維永遠是數學活動的“靈魂”。讓學生在數學應用的過程中獲得數學的思想、方法與策略，這才是數學教學的根本。在“圓”的教學中，教師應該因地制宜，因人而異，通過適度的拓展，潛移默化地給學生滲透相互轉化、數形結合、猜想驗證、順思逆想、分解組合等思想，培養學生的空間觀念與空間想象能力。例如：

已知下圖中圓和長方形的面積相等，求長方形的寬是多少？學生在16÷2=8，8×8×3.14÷16=12.56（cm）的計算中就滲透了數形結合的思想和圖形轉化的思想。

又如：在按照教材（人教版六年級上冊第61頁）引導學生利用圓規和三角板畫圖案的過程中，可以啟發學生想象，如果正方形的邊長10厘米，你能計算出菊花瓣的面積嗎？通過空間想象，學生不難發現，如果在正方形里裝進兩個圓，不僅裝滿了整個正方形，而且出現了重疊，重疊的部分正是菊形花瓣的面積。因此，菊形花瓣的面積等于兩個圓的面積減去正方形的面積。

我們還可以設計一些非常有趣的問題，喚起學生大膽的想象，使數學知識適當拓展：一個人的身高1.6米，如果他沿著赤道繞地球走一圈，他的頭和腳移動的距離一樣多嗎？這個問題乍看似乎荒唐可笑，但仔細一想，再畫一畫示意圖并經過計算，就會發現他的頭和腳移動的差實際是半徑為1.6米的圓周長。如果設地球的直徑為d米，那么他的頭比腳多移動的距離就是：

（1.6×2+d）×3.14-3.14d

=3.2×3.14+3.14d-3.14d

≈10.05（米）。

總之，數學的應用實際是一種策略、一種手段、一種思想方法、一種思維習慣。我們在教學中務必充分利用數學

這個思維體操，鍛煉學生的思維能力，使學生的數學思維品質得到優化。讓學生了解并掌握解決實際問題的一般思想方法，形成科學的思維習慣，并具有自覺地應用數學的意識，從而全面提高學生的綜合素質和解決簡單實際問題的應用能力。

作者單位

昆明市盤龍區教師進修學校

◇責任編輯：李瑞龍◇