估算教學的策略

一、小學數學中的估算問題

小學數學中加、減、乘、除的估算主要包括估值和區間估計兩種形式。區間估計又包括估上限和估下限兩種不同的形式。

1.估值。估值是指估計和、差、積、商大約是多少。

如課程標準實驗教材人教版數學三年級上冊第18頁例2：

這道題是估計“和”大約是多少。主要解法有：

解法一：把376看成300，把284看成200，300+200=500。學生回答為爬行類和兩棲類大約有500種或回答為爬行類和兩棲類合起來肯定比500種多。

解法二：把376看成350，把284看成300，350+300=650。學生回答為爬行類和兩棲類大約有650種。

解法三：把376看成400，把284看成300，400+300=700。學生回答為爬行類和兩棲類大約有700種或回答為爬行類和兩棲類合起來比700種少一些。

這樣該道題對和的估計大約在500~700之間。

由此，我們可以看出：

（1）在計算教學中引入估算，符合《數學課程標準（實驗稿）》提倡的“算法多樣化”的要求，可以有效地引導學生獨立思考，發揚各自的聰明才智，提出不同的解題思路。

（2）在小學“估值”教學中，由于沒有精確度的要求，主要看估值的方法是否正確。因此，上題在方法正確的前提下，學生對376加284的和估值在500~700之間，可以認為估算正確。

（3）由于學生認識水平的限制，在估算中有較大的差異是正常現象。但教師要引導學生逐步縮小“估值”與“精確值”之間的差距，即由相差較多向相差較少轉變。在上題中，可以讓學生通過筆算精確地計算出376+284=660，再比一比誰的“估值”與“精確值”相差比較少，說一說是怎樣估算的？

（4）估算通常是把需要筆算的數學問題通過取整（也可能是特殊值的計算）轉化為口算來解答，而學生口算的能力有強有弱，有的學生直接口算出準確值，還能叫估算嗎？這也是教學中應注意的問題。

通常，估算的結果只能與精確值相近似。對于估算問題不能單純看結果，還要看過程。只要估算的方法合理，得出的結果是精確值也應給予肯定。

（5）在估值時，有的學生也可能體現出“區間套”思想，直接說出比誰大，比誰小，這是正確的。但這種區間估計的思想對小學生來說比較困難，不要硬性要求。

（6）對于估算問題，各套教材選用的數值通常是接近整十、整百的數，以降低估算的難度。但不能說只有接近整十、整百的數才能估算，應該說在小學階段，凡不能直接口算的四則式題都可以估算。

在“估值”教學中，教師還可以適當引入一些超出小學筆算要求，但可以進行估算的問題，以提高學生對估算的認識。如：

下面長方形的面積大約是多少平方米？

這是一道用小數乘法，求長方形面積的計算題。12.58乘9.45相當于求四位數乘三位數的積，這已經超過了小學數學筆算的要求，但可以引導學生采用估算的方法求出積的近似值，解決一些沒有學過的計算問題。

解法一：把12.58米看成是12米，9.45米看成是10米，12×10=120（平方米）。長方形的面積大約是120平方米。

解法二：把12.58米看成是13米，9.45米看成是9米，13×9=117（平方米）。長方形的面積大約是117平方米。

在加法和乘法的估值中，有時需要采用一大一小的方法，即一個加數（或因數）往大估，另一個加數（或因數）就要往小估，這樣和（或積）的估值與精確值比較接近。而在減法和除法的估算中，有時需要采用同大、同小的方法，即被減數（或被除數）往大估，減數（或除數）也同時往大估，這樣差（或商）的估值與精確值比較接近。

2.區間估計。數值的區間估計包括估上限和估下限兩種不同的情況。估上限指估算的結果比給定的數值要小，或者等于給定的值。估下限指估算的結果比給定的數值要大，或者等于給定的值。

加法或乘法估上限的問題，通常把給定的數據往上估一估，口算出和或積。如果這個和或積比給定的數值小，或者等于給定的數值，則說明原來的和或積也比給定的數值小，或等于給定的數值。用數學方法表示是：

如果a≤b，c≤d，并且b+d≤N，那么a+c≤N。

如果a≤b，c≤d，并且b×d≤N，那么a×c≤N。

加法或乘法估下限的問題，通常把給定的數據往下估一估，口算出和或積。如果這個和或積比給定的數值大，或者等于給定的數值，則說明原來的和或積也比給定的數值大，或等于給定的數值。用數學方法表示是：

如果a≥b，c≥d，并且b+d≥N，那么a+c≥N。

如果a≥b，c≥d，并且b×d≥N，那么a×c≥N。

如，估計一下帶800元錢買一套桌椅夠不夠。

如果采用估上限的方法：

（1）把478看成500元，把259元看成300元，500+300=800（元），因此，帶800元夠用。

（2）把478元看成500元，800-500=300（元）。這樣剩下的300元比259元多，所以帶800元夠用。

用估下限的方法：

（1）把478元看成450元，把259元看成250元，450+250=700（元），因此帶800元夠用。

（2）把478元看成450元，800-450=350（元）。這樣剩下的350元比259元多，所以帶800元夠用。

這兩種估算方法，如果不繼續做進一步說明的話，雖然結論是正確的，但估算的方法是錯誤的。當估上限時，可能是本來800元夠買一套桌椅，現在便宜了當然還夠（這種估算沒有實際意義）。當估下限時可能是原來錢不夠買一套桌椅（假如只帶700元錢），但把桌子和椅子的價錢看得少一些就夠了，這并不能說明原來帶的錢也夠（估算誤差過大造成錯誤）。因此，一般來說教師可引導學生先想一想，478加上259的和比誰多，比誰少，再回答是否夠用。即400元加上200元是600元；78元加上59元比200元少，比100元多。所以478加上259比700元多，比800元少，由此得到帶800元夠用。

小學生由于受生活經驗不足的限制，四則運算的區間估計要比單純的估值困難得多。在成人看起來很簡單的問題，對小學生卻很困難，并且區間估計所涉及的邏輯關系也是小學生不容易掌握的，學生很難區分什么是正確的估算，什么是錯誤的估算。因此，教學時要注意以下幾點。

（1）要把估算作為解決此類問題的方法之一。解決此類問題可以估算，也可以采用口算和筆算的方法。

如，課程標準實驗教材北師大版數學二年級下冊第76頁第4題：

這道題采用口算、估算和筆算都可以解決，就不必限用估算的方法。

（2）當出現估算錯誤時，教師只要通過實際例子讓學生認識到這樣估算是錯誤的，就可以了。

如下題：云嶺小學組織學生97人看電影，請你算一算帶800元錢買電影票夠不夠。

在實際教學時，雖然三年級上學期學生沒有學過兩位數乘法，但有學生卻這樣估算：把電影票8元一張，看成10元一張。97人看電影就需要970元。所以帶800元不夠。

碰到這種情況，教師首先要讓學生充分發表意見，展開討論，然后教師可以指出：把8元一張的電影票看成10元，每張票多算了2元，97張就多算了將近200元，所以帶800就不夠了。教師要明確告訴學生：在一位數乘法的估算中，通常是一位數不變，多位數取整，再口算。

（3）是否估算正確，既要考慮估算的過程，也要考慮估算的結果，還要注意減少估算可能造成的誤差，也可以引導學生通過筆算來檢驗估算結果的正確性。

二、估算與口算、筆算有機結合

《數學課程標準（實驗稿）》指出：“應重視口算，加強估算，鼓勵算法多樣化。”同時要求學生“能結合具體情境進行估算，并解釋估算的過程”以及“在解決具體問題的過程中，能選擇合適的估算方法，養成估算的習慣。”在第一學段“數與代數”的八個案例中，與估算有關的案例就有六個。在第二學段“數與代數”的十個案例中，與估算有關的案例就有五個。這些案例涉及對大數和時間的估計，還涉及對整數、小數和分數加、減、乘、除的估算。另外，在“空間與圖形”、“統計與概率”中也有一些估算的要求。

估算是思維價值比較高、學生掌握起來有一定困難、在實際生活中應用十分廣泛的一種計算形式。要使學生養成良好的估算習慣，就必須把估算思想融匯到小學數學教育的全過程之中。

1.估算與口算相結合。把估算與口算相結合，就要在口算的基礎上，適時地進行估算的基礎訓練。

如課程標準實驗教材人教版數學四年級上冊第78~79頁。

在口算的基礎上安排估算訓練，還可以擴展到整數、小數或分數的口算教學中，這樣做有利于分散估算教學難點，增強學生估算的意識，養成良好的估算習慣，為解決具體問題，選擇合適的估算方法做好準備。

在口算的基礎上安排估算訓練，還要在一定量練習的基礎上，引導學生概括出估算的一些基本方法。

如三位數加、減三位數的估算，通常要把兩個三位數轉化為可以口算的整十數或整百數；一位數乘三位數的估算，通常一位數不變，把三位數轉化為整十數或整百數，然后再口算；一位數除三位數的估算，通常除數不變，把被除數轉化為能被除數整除的整十數或整百數，然后再口算……

2.估算與筆算相結合。把估算與筆算相結合，已經成為各套課標教材普通采用的編寫形式。

如下題：

在教學實踐中，這種編排形式已經為一線教師所接受，收到良好的教學效果。主要體現在：

（1）估算滲透了“區間套”思想。在這道題中，指出了商所在的區間，明確了商是幾位數，得出商的首位數字是幾。

（2）四則式題的估算還可以作為筆算的一種檢驗方法。例如估算是正確的，但筆算的結果在估算的區間之外，那么筆算一定是錯誤的；如果筆算的結果在估算的區間之內，則說明筆算可能是正確的。反過來，正確的筆算結果也可以作為檢驗估算合理性和近似程度的重要方法。

（3）把估算與筆算相結合，有利于活躍課堂教學氣氛，激發學生學習的積極性。個性化的教育，使我們的學生能夠虛心學習、認真思考，提出獨到的見解。

在估算教學中，應尊重每一個學生，允許不同的學生從不同的角度理解估算問題，鼓勵解決問題策略的多樣化。同時引導學生交流討論，增強學生的估算意識，不斷提高學生的估算能力。

作者單位 北京教育學院豐臺學院

◇責任編輯：曹文◇

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