“數學建模”與“數量關系”的辯證關系

【現象】六年級某班單元測驗中有這樣一道應用題：“某商店一種商品現在的單價是120元，比原來降低了30元，降低了百分之幾？”測試后的統計結果顯示，全班53%的學生出現“（120-30）÷120”的錯解。

【診斷】分析錯誤原因，主要是在應用題教學中過分注重類型，給學生灌輸大量的公式和題型套路，進行大量的程式化練習，學生卻不明白公式的意義和作用，更沒有去深究公式的來龍去脈，在解題時只能是死記類型、死套公式，不會靈活運用所學知識來解決新情境下的問題。上述測試題屬于“求比一個數少百分之幾”的應用題，課本例題（浙教版）是：“一個蔬菜基地第一季度收蔬菜30萬千克，第二季度收蔬菜39萬千克，第二季度蔬菜產量比第一季度增產百分之幾？第一季度的蔬菜比第二季度少百分之幾？”這位教師在教這類應用題時，為了使學生能熟練解題，總結出一些解題“秘訣”：（大數-小數）÷小數=多百分之幾；（大數-小數）÷大數=少百分之幾。于是在做上述測試題時，不少學生出現了生搬硬套“（120-30）÷120”的錯誤。

【思考】針對這些弊端，本次課程改革對“應用題教學”動了“大手術”：不再單獨設立“應用題”章節，強調要從運算意義進行思考，淡化應用題類型教學，其功能也不再是對解題模式的簡單應用，而是真正讓數學與現實聯系，讓學生學習用數學的眼光、數學的思維、數學的方法去認識世界，去解決所碰到的現實問題。倡導“問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展”的學習模式和“原型——模型——應用”的知識呈現形式。有些教師沒有全面領會數學課程標準的精神和新教材的意圖，也沒有把握“解決問題”教學策略的實質，在進行“解決問題”教學時，普遍存在以下一些困惑：什么是數學建模？數學建模要不要分析數量關系？在數學建模教學中怎樣把握“解決問題”領域的結構體系？數學建模學習中有哪些有效的策略和方法？等等。針對這些問題，筆者作了以下一些辯證思考。

一、機械的數量關系分類教學不是數學建模

什么是數學模型？數學模型是指把某種事物系統的主要特征、主要關系抽象出來，用數學語言概括地或近似地表述出來的一種數學結構。什么是數學建模？所謂數學建模，就是把現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋、應用現實問題的過程。其用框圖表示是：

從上述定義中我們可以看出，數學建模的過程是學生自主探索、嘗試、發現與建構的過程。如果進行簡單的數量關系分類教學，學生就會死扣解題類型而不去思考其中的數學意義，思考空間就會被縮小，雖然發展了學生的解題技能，但沒有發展學生的數學理解和思考能力。這樣的教學沒有對實際問題的數學抽象，更談不上對數學模型的意義建構，當然也就不可能去解釋和應用新情境下的實際問題。如前面所述那位數學教師的“套路教學”中，多數學生在面對新情境下的同類問題時，往往只會“死記硬套”，而不是在真正地解決問題。如果引導學生展開數學建模學習，學生就不會簡單地把問題和類型相聯系，而是思考情境中的問題與數學意義的聯系，并經歷一個思考與再創造的過程，在這一過程中獲得實質性的模型建構。因此，機械的數量關系分類教學絕不是真正意義上的數學建模活動，只有認識到這一點，應用題教學才有可能真正轉變為解決問題的過程。

二、數學建模需要對數量結構關系進行提煉和概括

施教數學課程標準實驗教材，在解決問題教學中要不要進行數量關系的分析？傳統教學中好的方法能不能繼續運用？有些教師的課堂教學中存在著關注了情境創設，關注了信息的收集，而忽略了數量關系的提煉。常常出現“就題論題”的現象，學生的數學學習只是一個個孤立“個案”的疊加，沒有做必要的“梳理”與“整合”，沒有通過問題情境，探索并構建出數學模型，難以實現數量結構化遷移。這樣的教學不是真正的數學建模學習活動，因為數學模型的核心要素是要用數學語言表述出數學結構。實踐表明，只有積累必要的數量結構，才能使學生在獲取信息后形成解題思路，學會解決問題，并把零散的知識匯編成系統的網絡，便于師生把握“問題解決”教學領域的結構系統。可見，新課程中的應用問題教學改革關注的并不是要不要數量關系的問題，而是改革如何獲得數量關系的方式以及怎樣使用數量關系的問題。

例如，學習“有小括號的混合運算”（北師大版教材二年級下冊），可以這樣設計教學：

（1）出示主題圖。圖中告訴我們哪些數學信息？要解決什么問題？

（2）要求需要幾只船，可以用什么方法來計算？（讓學生提出模型假設：一共的人數÷每只船能乘的人數=需要船的只數）

（3）哪個信息還沒有直接告訴我們？怎樣解決？（利用數學模型解決中間問題：男生人數+女生人數=一共的人數）

（4）讓學生獨立列式計算并嘗試列出綜合算式。（模型求解）

（5）選取部分學生列出的綜合算式“29+25÷9”進行討論交流。（讓學生用前面提出的模型假設來驗證運算順序是否正確）

（6）引出小括號，體驗小括號的作用。（讓學生根據數學模型作出解釋）

（7）變式練習：歡歡有10支鉛筆，用去4支，剩下的送給2個小朋友，平均每個小朋友能分到幾支？（拓展模型）

（8）總結兩步計算問題解決的共同模型及關鍵（先解決中間問題，再解決最后問題，每一步的問題解決都要根據基本數量關系模型來進行），引導學生理出解決兩步實際問題的知識鏈，形成認知網絡結構，實現結構化遷移，逐步提高解決數學問題的一般能力。

（9）鞏固應用。

三、數學建模注重“解決問題的策略”與“分析數量關系的基本方法”的有機結合

數學建模是一個提出問題、分析問題和解決問題的過程，需要具備一定的解決問題的策略，如列表整理、枚舉、還原、假設、轉化、猜想、實驗、分類、類比、對應等等。它不能簡單地以數量關系的分析來代替學生豐富生動、個性不一的解決問題策略的展示。但是，我們不能拋棄傳統應用題教學中的精華，傳統教學中分析數量關系的基本方法，如圖形法、分析法、綜合法等，對提高學生的數學思維能力和解決問題能力是很有作用的，這些基本方法有別于解一定類型題的個別技能技巧，它是一種具有廣泛遷移性的解任何題都需要具備的能力。

在具體的問題解決過程中，分析數量關系的基本方法和解決問題的策略是相互滲透、相輔相成的，它們共同幫助學生找到解決問題的途徑和方法：首先，運用分析與綜合的方法，弄清現實情境中的條件和問題之間的數量關系，選擇一些解決問題的有效策略并構建恰當的數學模型，用數學概念、數學符號、數學表達式或圖形簡潔、清晰地表達出來，接著，在建立數學模型的基礎上進行邏輯推理或數學演算，求出問題的解，最后，把數學模型中得到的解返回到問題中去，檢驗是否使問題得到了解決。

下面以數學建模方法之一的“圖形法”為例加以說明。所謂“圖形法”，就是對某些數學問題的數量關系，以某種方式與幾何圖形建立聯系，將題目中的條件及數量關系直接反映在幾何圖形中，然后在構造的圖形中尋求問題的解決。例如：“一輛車從建筑工地前往水泥廠運水泥，往返共用了22個小時，去時用的時間是回來的1.2倍，回來時的速度比去時的速度每小時快13千米。從建筑工地到水泥廠的路程是多少千米？”解決過程如下：

（1）對題中數量關系進行分析與綜合。根據往返共用22小時和去時的時間是回來的1.2倍，可以求出回來的時間：22÷（1+1.2）=10（小時）；去時的時間：22-10=12（小時）。

（2）采取對應與轉化的策略。因為“路程=速度×時間”、“長方形面積=長×寬”，可以用長方形的長與寬分別表示速度和時間，那么長方形面積的值就對應路程的值，從而將算術問題轉化為幾何問題。

（3）用“圖形法”構造出數學模型：

（4）求出模型的解。由于往返路程是一樣的，所以長方形ABCD（去時）與長方形AEFG（返回）面積相等，即陰影①與陰影②的面積相等。

●陰影②的面積是：13×10=130

●陰影①的長（去時的速度）是：130÷（12-10）=65（千米）

●長方形ABCD的面積（要求的路程）是：65×12=780（千米）

（5）檢驗問題是否得到正確解決。

作者單位 浙江省武義縣教育局教研室

◇責任編輯：曹文◇