極限與求導運算的復合函數(shù)教學法

摘要：本文探討了極限與求導運算的復合函數(shù)教學方法，指出對于初等函數(shù)的極限與求導，利用復合函數(shù)的運算法則，使學生能準確、熟練、靈活地解題，促進了思維的發(fā)展。

關鍵詞：初等函數(shù) 復合函數(shù) 極限 求導

初等函數(shù)是高等數(shù)學最常見的一類函數(shù)。微分學中研究的主要是初等函數(shù)的性質如：極限性質，可微性和可積性。在高等數(shù)學的學習過程中，對于一些基本的初等函數(shù)（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)），我們求其極限、微分都有公式，比較簡單，輕車熟路；而對于求解其它的初等函數(shù)就顯得比較復雜，容易出錯，甚至有一些都無從下手。我們知道，所謂初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限的四則運算與復合運算所得到的函數(shù)。因此，理解和掌握復合函數(shù)的極限運算法則、求導法則成為解決問題的關鍵。

一、極限運算

極限是高等數(shù)學中的最基本、最重要的概念，導數(shù)、積分等都是通過極限來定義的。在理解極限與連續(xù)的概念與性質之后，根據(jù)初等函數(shù)的性質：一切基本初等函數(shù)都是在其定義域上的連續(xù)函數(shù)，我們可以很方便地求出基本初等函數(shù)的極限。對于其它初等函數(shù)，我們可以利用極限的四則運算法則和復合函數(shù)的極限運算法則其它們的極限。關于復合函數(shù)的極限運算法則，主要有下面兩個定理：

二、求導運算

作為微分學的基本概念——導數(shù)與微分，求解函數(shù)的導數(shù)與微分對后續(xù)課程的學習非常重要。在學習的過程中，復合函數(shù)求導是導數(shù)運算的難點和重點，因此，掌握復合函數(shù)的導數(shù)運算對某些復雜的初等函數(shù)的求導就迎刃而解。關于復合函數(shù)求導運算，有下面的定理：

上述證明詳見參[1]。

當然對于由有限個函數(shù)復合而得的復合函數(shù)，只要每個函數(shù)都可導，則其復合函數(shù)也可導，并有類似于（3.1）、（3.2）的公式成立。復合函數(shù)的求導公式（3.1）、（3.2）也稱為鏈式法則。下面結合鏈式法則，談復合函數(shù)求導的幾點做法：

1．清楚地分析函數(shù)的復合關系，恰當?shù)卦O置中間變量，把它分解成一些基本初等函數(shù)的復合。

2．要明確鏈武法則的適用條件，在分析所給的函數(shù)時，y=g(u)，u=f(v)，v=h(x)等分解表達式必須為一元函數(shù)。

3.運用鏈式法則時，由最外層開始，先使用法則，后使用導數(shù)基本公式， 由表及里、一層一層地求導，在求導過程中，一定要記清每一步是誰對誰(即什么函數(shù)對哪個變量)求導數(shù)，對前變量(即函數(shù))求導后，在后邊應馬上乘以一個前變量對后變量求導因子，不能漏掉鏈式法則中的任何一個環(huán)節(jié)。

在舉例時，要突出上面解題過程，以達到鞏固之目的。如求y=ln2cosx的導數(shù)。首先體現(xiàn)出把y分解成簡單的函數(shù)鍵：y=lnu，u=2v，v=cosx，再叫學員判斷y，u，v的表達式均是一元函數(shù)，然后才可用鏈式法則。

解：由公式（3.2）有：

當學生能熟悉分解復合函數(shù)過程后，中間變量u，v就沒有再引進的必要(但這個方法初學者是完全必要的)，應采用“心記分解過程” 的求導方法可以提高學生解題的速度，如求y=tan 的導數(shù)。

解：由公式（3.2）有：

綜上所述，在極限與求導運算的教學過程中，首先叫學生掌握好基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的概念，它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。在此基礎上再重點講清函數(shù)的復合及復合函數(shù)的定義，掌握理解其表達式：y=g(u)，u=f(x)。為了鞏固這些概念，達到深刻地理解，做一些函數(shù)練習是非常必要的。如舉例叫學生辨別一些函數(shù)，哪些是基本初等函數(shù)，哪些是復合函數(shù)。在上面教學的基礎上，教學進入另一個進程，訓練學生作到準確地分析出函數(shù)的復合關系。為此要通過例題叫學生掌握“由外到內(nèi)層層剝”的方法。例如：lncosarctanx 先引導學生利用復合函數(shù)的表達式一層一層地“剝”：y=lnu，u=cosv，y=arctanw，w=x 到此每一個函數(shù)都是基本初等函數(shù)，分析到底了。訓練學生學會上面的分析方法，為學會初等函數(shù)的求極限與求導打下基礎。

其次，利用基本初等函數(shù)的極限性質與求導公式，以及它們所對應的四則運算，再運用上面復合函數(shù)極限與求導運算法則，就可以很快地求得初等函數(shù)的極限與導數(shù)。

參考文獻：

［1］華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（第二版）.高等教育出版社，2002.

［2］沙萍等編.高等數(shù)學.東北大學出版社，2004.

［3］許新齋，馬軍英.關于復合函數(shù)的極限運算法則.山東師范大學學報(自然科學版)，2002.06.

［4］朱勻華等編.數(shù)學分析的思想方法.中山大學出版社，2001.

［5］于濱.復合函數(shù)求導教學中的幾點作法.科學教育論壇，2005年第16期.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。