淺談中學數學應用題

關鍵詞：應用題；表述；對象；求解；設問

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B

文章編號：1009-010X（2007）10-0063-02

應用數學知識和方法解決實際問題是學習數學的重要目的之一。近年來，隨著數學教學中“問題解決”的提出，培養(yǎng)學生的數學應用意識和應用能力已成為人們十分關注的問題。應用數學解決實際問題，指的是把現實世界中與數量關系和空間形式有關的問題提煉為數學問題，然后運用數學方法去解決，或者用數學方法主動地去觀察研究現實世界中的有關問題。而作為教學中的“數學應用題”，一般是指作者或教師以現實世界中的數量關系為基礎構造出來的實際問題。面對變化多端的數學應用題，不少教師感到困惑，到底什么是應用題，它的范圍包括哪些？要弄清這個問題，就應該對應用題的表述方式、涉及的對象、求解時所用的數學方法和設問的方式等有一個較完整的了解。

一、應用題的表述方法

應用題的表述方法很多，過去人們見到的應用題大多是用自然語言來表述。但是，反映事物的空間形式和數量關系的方法不僅僅限于自然語言。目前應用題的表述方法常見的有：（1）自然語言；（2）圖形；（3）表格；（4）圖像。

例1（上海市中考題）某紙品加工廠為了制作甲、乙兩種上方無蓋的長方體小盒（如圖1）利用邊角料裁出正方形和長方形兩種硬紙片，長方形的寬與正方形的邊長相等（如圖2），現將150張正方形硬紙片和300張長方形硬紙片全部用于制作這兩種小盒，可以做成兩種小盒各多少個？

本題除了用自然語言表述了“現將150張正方形硬紙片和300張長方形硬紙片全部用于制作這兩種小盒”外，還用圖形給出了甲、乙兩種紙盒的形狀。圖形中隱含的數量關系（即：甲種長方體小盒，每個需要正方形硬紙片1張和長方形硬紙片4張；乙種長方體小盒，每個需要正方形硬紙片2張和長方形硬紙片3張）。很明顯，圖形也是一種提供數量信息的載體，有時它比自然語言更簡潔明了。在本題中，如果審題忽略了圖形提供的數量信息，或者不能正確提取圖形提供的數量信息，那么解題時就無從下手或出現錯解。

二、應用題涉及的對象

應用題涉及的對象可以是極其廣泛的，凡是與數量關系和空間形式有關的，需要求解的實際問題都可以作為對象構造成數學應用題。在初中數學中，主要有以下幾類內容：

（1）數學學科中的有關問題。數學學科本身研究的是客觀世界的數量關系和空間形式，以數學問題為題材可以構造出許多應用題，例如，數字問題，長度、面積和體積問題等，這些問題在教科書中很多，這里不再詳述。

（2）其它學科中的問題。初中階段除數學外，學習的科目還有許多，其中不少內容都涉及到數量關系，并以數學運算為研究工具。例如，物理學中研究路程、時間、速度關系的行程問題等。但我們不能把數學應用題的內容僅限于這些范圍內。實際上，就拿物理來說可建立數學模型的應用問題是很多的。如力學、電學、光學等，生物學科中有關的DNA、RNA的結構和遺傳等問題，都可以作為應用題的題材。

（3）與生產生活相聯系的問題。如我們熟悉的工程問題、生產調配問題等。實際上，與生產生活相聯系的問題很多。

綜上可知，在各學科以及生產生活中，與數量關系和空間形式有關的問題極其廣泛，這些問題本身就是數學應用問題，從中選擇出中學生能解決的問題，用恰當的形式來表述，就能構造出許多新型的應用題。

三、應用題求解時所用的數學方法

在初中數學中，用于解應用題的方法主要有三類：方程（組）法、函數法、不等式法。根據題意列代數式或直接運用教科書中現成的公式是建立方程（組）和函數關系式及不等式的基礎。

四、應用題的設問方式

應用題中要解決的問題用設問的方式提出，常用的設問方式有封閉式設問和開放式設問兩種。

例1用的是封閉式設問，在這類設問中，要求直接求出某數的大小。而開放式設問，不是直接求出某數的大小，而是要求回答可能出現的結果的情況或就某一個問題進行討論等。

例2（西安市中考題）某校校長暑假將帶領該校市級三好學生去北京旅游。甲旅行社說：“如果校長買全票一張，則其余學生可享受半價優(yōu)惠”，乙旅行社說：“包括校長在內全部按全票的6折優(yōu)惠”（即按全票的60％收費）。若全票價為240元。

（1）設學生數為x，甲旅行社收費為y甲，乙旅行社收費為y乙，分別計算兩家旅行社的收費（建立表達式）；

（2）當學生數是多少時，兩家旅行社的收費一樣？

（3）就學生數討論哪家旅行社更優(yōu)惠。

本題（3）需根據y_甲=0.5×240x+240，y_乙=0.6×240x+0.6×240，再分y_甲＞y_乙、y_甲＝y(tǒng)_乙、 y_甲＜y_乙三種情況進行討論。這是一個需要根據情況進行討論才能回答的開放式問題。

數學應用題是中學數學的重點，也是中考數學的重點之一。我們只有正確把握好應用題的表述方法、涉及對象、求解時所用的數學方法和設問方式，才能構造出好的應用題來。也只有從應用題的表述方法、涉及的對象、求解時所用的數學方法和設問的方式等方面，來剖析數學應用題才能教好應用題。要使學生解好應用題，就應該在平時應用題的教學中注意培養(yǎng)學生的閱讀能力、理解能力以及從應用題中正確提煉出數量關系和空間形式的能力，擴大學生的知識面，培養(yǎng)學生的數學應用意識，養(yǎng)成學生平時關心周圍發(fā)生的數學現象，關心各學科以及生產生活中的數學問題的習慣。