以實(shí)踐和應(yīng)用為特征的高等數(shù)學(xué)課程體系的構(gòu)建

高等教育必須把培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新型人才作為根本目標(biāo)。而數(shù)學(xué)作為一門最基礎(chǔ)的學(xué)科，所取得的成就與當(dāng)代科學(xué)技術(shù)的高度融合，已成為社會(huì)賴以進(jìn)一步發(fā)展的重要基礎(chǔ)。因此，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)、加強(qiáng)對數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力的培養(yǎng)，是新世紀(jì)實(shí)現(xiàn)高等教育根本目標(biāo)的重要內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)改革的基本方向。

一、實(shí)踐與應(yīng)用特征的內(nèi)涵與要求

現(xiàn)代社會(huì)中現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要作用為我們揭示了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本特征——數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)技術(shù)。其中，理論是核心，反映了基礎(chǔ)性；實(shí)驗(yàn)是方法，代表了實(shí)踐性；技術(shù)是目的，體現(xiàn)了應(yīng)用性。

1.實(shí)踐性特征內(nèi)涵與要求

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，重要的不是記住一些技巧，而是在學(xué)習(xí)過程中貫穿著創(chuàng)造、構(gòu)造、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)精神。數(shù)學(xué)作為研究抽象的科學(xué)，依靠邏輯而不是觀測結(jié)果作為其真理的標(biāo)準(zhǔn)，但同時(shí)也使用觀測、模擬等實(shí)驗(yàn)作為發(fā)現(xiàn)真理的手段。數(shù)學(xué)來源于實(shí)際，實(shí)踐是形成數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)主要是為解決各領(lǐng)域產(chǎn)生的各類實(shí)際問題的需要而產(chǎn)生和發(fā)展的。反過來，數(shù)學(xué)為解決實(shí)際問題提供了思想方法、計(jì)算工具和精確論證。這充分說明實(shí)踐性是數(shù)學(xué)所具有的重要特征之一。

因而，通過計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，使學(xué)生在實(shí)踐中將抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容與計(jì)算機(jī)應(yīng)用軟件結(jié)合起來，使得學(xué)生能夠不孤立地、更直觀地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，有利于發(fā)揮學(xué)生在教學(xué)過程中的主動(dòng)參與性，并使學(xué)生能夠以幾何直觀、數(shù)值分析和符號推演的結(jié)合來加深對概念的理解，以提高應(yīng)用能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果。同時(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要有課堂教學(xué)，習(xí)題課教學(xué)，還要合理增加實(shí)踐類教學(xué)課時(shí)。課程體系與內(nèi)容要充分體現(xiàn)實(shí)踐性，在理論與實(shí)踐中找到一種合理的平衡。

2.應(yīng)用性特征內(nèi)涵與要求

數(shù)學(xué)的應(yīng)用性應(yīng)當(dāng)包括兩個(gè)層面：一是數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)觀念的廣泛應(yīng)用，二是數(shù)學(xué)技術(shù)本身的應(yīng)用。數(shù)學(xué)在自身領(lǐng)域之外起著應(yīng)用科學(xué)的作用，數(shù)學(xué)的生命力就在于其應(yīng)用的廣泛性。毫無疑問，現(xiàn)實(shí)生活中存在著豐富多彩的與數(shù)學(xué)相關(guān)的問題，然而多數(shù)學(xué)生對這些認(rèn)識膚淺，甚至沒有認(rèn)識。幫助學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中的問題，形成解決這些問題的意識和能力，同時(shí)將信息技術(shù)與之更廣泛地結(jié)合，正是高等數(shù)學(xué)課程所要體現(xiàn)的應(yīng)用性特征。

二、高等數(shù)學(xué)課程新體系框架的構(gòu)建

人們早就注意課程體系設(shè)置問題對教學(xué)效果及人才培養(yǎng)目標(biāo)的影響。1995年，國家教委高教司在《面向21世紀(jì)教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革》計(jì)劃中特別指出，要重點(diǎn)解決大學(xué)數(shù)學(xué)課程體系和內(nèi)容更新問題，使學(xué)生掌握現(xiàn)代數(shù)學(xué)的內(nèi)容和計(jì)算，努力加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐環(huán)節(jié)。在此基礎(chǔ)上，許多學(xué)校相繼開設(shè)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)建模等課程，以加強(qiáng)數(shù)學(xué)的實(shí)用性與實(shí)效性。人們對數(shù)學(xué)教育理念達(dá)成共識，即：人人需要數(shù)學(xué)；人人都應(yīng)學(xué)有用的數(shù)學(xué)；不同的人應(yīng)當(dāng)學(xué)不同的數(shù)學(xué)。因此，高等數(shù)學(xué)課程體系改革應(yīng)本著高瞻遠(yuǎn)矚，整體優(yōu)化，分層次培養(yǎng)，著重基礎(chǔ)，加強(qiáng)應(yīng)用的原則來進(jìn)行。

1.課程體系和內(nèi)容的基本框架

課程體系和內(nèi)容的基本框架可構(gòu)建如下：（1）基礎(chǔ)部分——微積分和微分方程；（2）工具部分——數(shù)學(xué)軟件與實(shí)驗(yàn)；（3）應(yīng)用部分——數(shù)學(xué)模型。既強(qiáng)調(diào)微積分的經(jīng)典內(nèi)容，又重視現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的滲透，也注意到了數(shù)學(xué)知識的橫縱向之間的聯(lián)系及后續(xù)課的銜接，同時(shí)又將數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)軟件結(jié)合在一起，體現(xiàn)了注重基本概念、突出基本方法、強(qiáng)化基本應(yīng)用的原則，有助于學(xué)生打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)自我知識更新的能力。課程體系中計(jì)算機(jī)軟件應(yīng)用與算法等信息技術(shù)內(nèi)容的介入有利于改變傳統(tǒng)的、落后的數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)教育觀念。

2.課程內(nèi)容與目標(biāo)的要求

在課程內(nèi)容方面，要求與實(shí)際生產(chǎn)、生活相結(jié)合，把應(yīng)用性知識滲透其中。從課程目標(biāo)來講，要求掌握微積分的基本概念和基本理論，熟練掌握其基本運(yùn)算，能對基本方法、基本理論進(jìn)行簡單的應(yīng)用，能對基本知識進(jìn)行綜合應(yīng)用，具有利用數(shù)學(xué)軟件處理微積分問題的能力，掌握使用數(shù)學(xué)軟件的能力，對簡單的實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行求解的能力。

三、配套的教學(xué)內(nèi)容、方法和手段的革新

在教學(xué)改革過程中我們并不一定要追求內(nèi)容或形式的更新，原有的內(nèi)容可以用新觀點(diǎn)、新角度去考察，原有的教學(xué)方式可以用新手段、新技術(shù)來進(jìn)行。目前，在一些大學(xué)中存在高等數(shù)學(xué)課程被認(rèn)為不適合專業(yè)要求的情況，更加證實(shí)了我們需要不斷探索反思課程的教學(xué)內(nèi)容及方式、手段。

1.教學(xué)內(nèi)容革新

（1）來自于生產(chǎn)生活中的數(shù)學(xué)模型

在日常生活和工作中數(shù)學(xué)有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。這些應(yīng)用實(shí)例經(jīng)過抽象歸納后成為了數(shù)學(xué)模型，而數(shù)學(xué)模型就是現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)之間互動(dòng)的一座橋梁。在彌補(bǔ)數(shù)學(xué)知識遠(yuǎn)離生活實(shí)際的方面，數(shù)學(xué)模型是一個(gè)極好的學(xué)習(xí)題材，通過適當(dāng)設(shè)置數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，將有助于學(xué)生創(chuàng)新能力和實(shí)踐應(yīng)用能力的培養(yǎng)。

（2）有專業(yè)代表性的實(shí)際問題

高等數(shù)學(xué)教材都是按學(xué)科類別編寫的，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)充分了解學(xué)生在專業(yè)課學(xué)習(xí)中會(huì)遇到的有代表性的實(shí)際數(shù)學(xué)問題，并充實(shí)到相應(yīng)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中去，為學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題提供經(jīng)驗(yàn)和示范，不僅使學(xué)生為今后的專業(yè)學(xué)習(xí)打好了基礎(chǔ)，而且了解了建立數(shù)學(xué)模型的思想方法，認(rèn)識了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的重要性、提高了學(xué)習(xí)積極性，促進(jìn)知識向能力轉(zhuǎn)化。

（3）數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)展過程、前沿成果

在課程中適時(shí)適量地引入數(shù)學(xué)史的發(fā)展過程、數(shù)學(xué)家的思維過程及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最新研究情況等數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，將給學(xué)生以很強(qiáng)的示范性和啟迪性，使之體味到數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中的樂趣，以一種高漲的情緒來學(xué)習(xí)和思索，從而達(dá)到良好的教學(xué)效果。

（4）開放性問題

自20世紀(jì)70年代日本數(shù)學(xué)教育家提出“開放性問題”（open ended problem）后，在國際上引起了廣泛注意。美國J.Becker教授指出，問題答案的開放是第一步，其次是問題解決方法的開放，即方法的多樣性。最后是問題本身的開放，一個(gè)問題可以衍生出許多新的問題。在課程中引入開放性問題，將極大地開拓學(xué)生整合知識、舉一反

三、應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

2.教學(xué)方法革新

（1）注重知識背景

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的思想方法，開闊思路、啟發(fā)思維，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力。對重要的概念要講清楚，注意從聯(lián)系實(shí)際當(dāng)中引入、了解概念的背景。例如，從物理上的瞬時(shí)速度和幾何上的切線斜率引入導(dǎo)數(shù)定義后，還可以根據(jù)不同的專業(yè)，引申到求物理上的冷卻速度，交流電的電流強(qiáng)度，化學(xué)上的反應(yīng)速度，經(jīng)濟(jì)中的邊際成本等。從而將實(shí)際中的一些問題歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)與微分問題，實(shí)際問題也就不那么神秘了。

（2）教學(xué)過程要有趣味性

高等數(shù)學(xué)課程由于受自身邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn)，難以較快地引起學(xué)生的興趣。教師要講好課程，必須以通俗易懂、準(zhǔn)確、生動(dòng)的語言，并以直觀形象的方式來描述它的特性。同時(shí)，教學(xué)中不可避免地要出現(xiàn)許多枯燥難懂的算式推導(dǎo)，它不僅束縛了思想、喪失了創(chuàng)造性，而且損傷了大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。所以，應(yīng)盡可能注意避免陷入高難度的運(yùn)算證明，要以應(yīng)用為中心，強(qiáng)調(diào)概念解決問題的功用，使不同程度的學(xué)生都能意識到數(shù)學(xué)的真義，從中領(lǐng)略到自己需要的東西。從而使原本枯燥乏味的內(nèi)容變得生動(dòng)有趣，使復(fù)雜的難題變得一目了然，力爭達(dá)到教學(xué)內(nèi)容與形式的完美統(tǒng)一。

（3）發(fā)揮學(xué)生主體意識

高等數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)所涉及的內(nèi)容寬廣，教師不可能在教學(xué)中面面俱到。在教學(xué)中應(yīng)該做到以教師為主導(dǎo)、以學(xué)生為主體，采取靈活多樣、生動(dòng)有趣的教學(xué)方式，來充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的自主性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如，成立課外興趣小組、討論班、建模隊(duì)、數(shù)學(xué)軟件協(xié)會(huì)，開展數(shù)學(xué)應(yīng)用講座等，使學(xué)生能更多地接觸到高等數(shù)學(xué)應(yīng)用方面的一些實(shí)例，進(jìn)而使學(xué)生能更深入、更全面地了解高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用方法和它的發(fā)展趨向，同時(shí)，也可彌補(bǔ)教材的不足之處，緩解內(nèi)容多、課時(shí)緊的矛盾。

3.教學(xué)手段的革新

（1）計(jì)算機(jī)與多媒體的應(yīng)用

錢學(xué)森教授在1989年就指出了計(jì)算機(jī)對數(shù)學(xué)教學(xué)的深刻影響，提出了理工大學(xué)的數(shù)學(xué)課要改造一番，要實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)與課程教學(xué)的緊密結(jié)合，提倡計(jì)算機(jī)的模擬與實(shí)驗(yàn)。中國科學(xué)院王元院士也強(qiáng)調(diào)，計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件使用對培養(yǎng)工科學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力十分重要。

高等數(shù)學(xué)教學(xué)中計(jì)算機(jī)不僅能做計(jì)算和代數(shù)運(yùn)算，還是基于微機(jī)的實(shí)驗(yàn)室，可將以往的函數(shù)圖形表示為計(jì)算機(jī)上的模擬運(yùn)動(dòng)，從而使公式表示、圖形表示和現(xiàn)象可以相互對照，微積分的學(xué)習(xí)具有了形象化特征。通過開發(fā)多媒體教學(xué)軟件、計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)系統(tǒng)和電教錄像系統(tǒng)等，可提升教學(xué)效果，在教學(xué)過程中起到良好的輔助作用。

（2）網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的應(yīng)用

網(wǎng)絡(luò)教學(xué)通過集中優(yōu)秀的教學(xué)資源為教學(xué)服務(wù)，以多媒體形式優(yōu)化了教學(xué)環(huán)境。網(wǎng)上傳輸信息量大，靈活、穩(wěn)定、質(zhì)量高，可實(shí)現(xiàn)人機(jī)交互，具有可持續(xù)性，學(xué)生可利用網(wǎng)絡(luò)信息建構(gòu)自己的知識體系。網(wǎng)絡(luò)教學(xué)易形成非線性知識結(jié)構(gòu)，改變了教師的教學(xué)觀與學(xué)生的學(xué)習(xí)觀，有利于高素質(zhì)人才培養(yǎng)。同時(shí)與遠(yuǎn)程教育網(wǎng)相結(jié)合，可達(dá)到優(yōu)勢互補(bǔ)，資源共享，確保教學(xué)質(zhì)量。

計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用在數(shù)學(xué)的傳播與教學(xué)中起到越來越重要的作用，可以預(yù)計(jì)數(shù)學(xué)教育必將是與計(jì)算機(jī)及網(wǎng)絡(luò)的連體。

四、與課程體系配套的教材改革

1987年美國國家科學(xué)基金會(huì)（NSF）宣布啟動(dòng)微積分計(jì)劃。建議應(yīng)著重于“培養(yǎng)學(xué)生概念性的理解能力、解決問題的技巧、分析與舉一反三的技能。同時(shí)要通過實(shí)行新方法減少冗長乏味的計(jì)算”。NSF投入大量資金用于推動(dòng)改革，特別是Harvard微積分聯(lián)盟編著的教材在很多方面富有創(chuàng)意，引入了所謂的“4規(guī)則”：“每個(gè)概念都要用圖形、文字、數(shù)值、代數(shù)的方式加以呈現(xiàn)”。

由此我們得到啟發(fā)，教材應(yīng)該具有應(yīng)用性、啟發(fā)性、現(xiàn)代性、人文性。可以百花齊放，滿足不同層次、不同需求、不同發(fā)展方向的學(xué)生使用的需求。要面向現(xiàn)代，加大教材知識密度，擴(kuò)充信息容量，優(yōu)化教材結(jié)構(gòu)；重視基礎(chǔ)，加強(qiáng)應(yīng)用，適當(dāng)引入新科技和近代數(shù)學(xué)思想；淡化嚴(yán)格推理，削弱運(yùn)算技巧，加強(qiáng)計(jì)算機(jī)應(yīng)用教學(xué)。

1.增加數(shù)學(xué)軟件與實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容

數(shù)學(xué)軟件的使用能大量減少計(jì)算，可以把教師和學(xué)生從繁重的數(shù)學(xué)運(yùn)算中解放出來，把更多的精力用于思考解決問題的方法上。因此，教材中可以適當(dāng)刪減、調(diào)整一些教學(xué)內(nèi)容。例如，微積分在近似計(jì)算中的應(yīng)用、函數(shù)圖形的描繪、微積分的計(jì)算方法與技巧等內(nèi)容都可以簡化，主要講清楚解題思路即可。掌握了基本思路后就可利用數(shù)學(xué)軟件與實(shí)驗(yàn)完成相應(yīng)的計(jì)算。同時(shí)在教材中穿插一些利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行計(jì)算與作圖的問題，對增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是有益的。

2.提高教材的趣味性和人文性

數(shù)學(xué)歸根到底是客觀世界的一種反映，它一直融合在人們的日常生活和生產(chǎn)活動(dòng)中，教材中的所有概念都是從實(shí)際生活中提煉出來的。在教材內(nèi)容的編排上，應(yīng)當(dāng)給出更多的形象化的例子，將數(shù)學(xué)的知識性和趣味性有機(jī)地結(jié)合在一起。從數(shù)學(xué)史中精選出一些與之相關(guān)的案例，配備一些從易到難的習(xí)題，激發(fā)學(xué)生的求知欲。從而使學(xué)生在學(xué)習(xí)中由被動(dòng)轉(zhuǎn)為主動(dòng)，由枯燥乏味變得興趣盎然，使其較大地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

3.注重應(yīng)用性和啟發(fā)性

國外教材的突出特點(diǎn)是應(yīng)用性強(qiáng)，內(nèi)容緊密結(jié)合生產(chǎn)和生活實(shí)際，涉及物理、生物、經(jīng)濟(jì)、金融、建筑、醫(yī)學(xué)、軍事、政治等，信息量大。通過精選一些只涉及較為初等的數(shù)學(xué)，又能體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的習(xí)題，教會(huì)學(xué)生如何應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題。國外教材同時(shí)也注重啟發(fā)性，有大量的思考內(nèi)容和討論內(nèi)容。而國內(nèi)教材的應(yīng)用題也基本上限于微積分在物理、幾何中的傳統(tǒng)應(yīng)用，缺乏應(yīng)用性和趣味性。

4.配備形式新穎、內(nèi)容豐富的習(xí)題

國外經(jīng)典的Thomas 微積分教材大約有5 000 道練習(xí)題，包括概念題、計(jì)算、證明題和應(yīng)用題及討論與探索題。每章的習(xí)題包括指導(dǎo)復(fù)習(xí)題、實(shí)踐題、附加題。一些設(shè)計(jì)新穎、風(fēng)格各異的習(xí)題，可服務(wù)于特定的教學(xué)目的，滿足不同能力培養(yǎng)的需要。而且有很多習(xí)題來自生產(chǎn)生活當(dāng)中。而我們目前使用的教材中，結(jié)合實(shí)際問題、數(shù)值計(jì)算、借助于計(jì)算機(jī)作圖及一些探索性、研究性的習(xí)題幾乎沒有。這是教材改革中必須注意到的問題。

五、結(jié)論

將高等數(shù)學(xué)與工程數(shù)學(xué)有機(jī)融合，滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、內(nèi)容和方法，加強(qiáng)應(yīng)用和實(shí)踐方面的內(nèi)容，構(gòu)成新體系，生成新的教學(xué)模式和教學(xué)方法，使得高等數(shù)學(xué)具備了更多的教育形態(tài)，更為豐富的教學(xué)形式、手段，更加系統(tǒng)的合理的課程體系。最終達(dá)到這樣的目的：使學(xué)生掌握基本理論和方法；具有一定的邏輯推理、歸納演繹和運(yùn)算能力；接觸一些重要的數(shù)學(xué)思想、方法及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的案例；培養(yǎng)學(xué)生從定性到定量的抽象能力、舉一反三能力，體會(huì)用數(shù)學(xué)模型描述并解決各種實(shí)際問題的方法；切實(shí)掌握專業(yè)所需的數(shù)學(xué)知識，同時(shí)對數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀有一個(gè)概括的了解，并有意識地培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的自學(xué)能力。

在教育工作者們展望2010年中國數(shù)學(xué)教育時(shí)，我們注意到這樣的描述，“會(huì)更多地看到學(xué)生的自主探索、合作交流、動(dòng)手操作與創(chuàng)新思考……數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)技術(shù)和電腦技術(shù)等將會(huì)形成新的個(gè)體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式……課堂教學(xué)將會(huì)從師、生二元交往過渡到師、生、電腦的三元交往……”而今時(shí)間迫近，而我們的改革也是需要緊迫起來的。