一道少年數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的解法與探究

培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和創(chuàng)造能力，是當(dāng)前素質(zhì)教育賦予廣大教師的時(shí)代重任，而實(shí)現(xiàn)這一任務(wù)的主陣地是在平時(shí)的課堂中。因此，對(duì)于課堂中研究的問(wèn)題，教師要全方位、多角度地引領(lǐng)學(xué)生分析和比較，挖掘本質(zhì)，總結(jié)規(guī)律，歸納方法，不斷將問(wèn)題引向深入。

題目：如下圖，用同樣大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形，其中最小的三角形頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)(重合的頂點(diǎn)只計(jì)一次)依次為：3，6，10，15，21……問(wèn)這列數(shù)中的第9個(gè)是多少?

(2005年3月19日第十屆全國(guó)“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽試題)

解析：設(shè)圖形的個(gè)數(shù)為n，第n個(gè)圖形中三角形頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為m。列表如下：

從上表中可以推測(cè)出第n個(gè)圖形中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：

答：這列數(shù)中的第9個(gè)是55。

從以上解法中可以看出，這道題的難點(diǎn)是找出三角形中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)與圖形的排列序號(hào)之間的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)?shù)贸?化難為易，巧妙地解決了問(wèn)題。

這道試題在條件不變的情況下，對(duì)結(jié)論還可作如下變化：

(1)問(wèn)第9個(gè)圖形中共有多少個(gè)面積最小的正三角形?第n個(gè)圖形呢?

(2)假設(shè)題目中圖形為1厘米厚的泡沫板，圖2如果切割出小正三角形，至少要切割3刀；圖3，要切割8刀。試問(wèn)，第9個(gè)圖形需要切割幾刀才能完成?第n個(gè)圖形呢?

解決的方法依然是動(dòng)手、畫(huà)圖、分析。觀察圖2發(fā)現(xiàn)：圖2中有4個(gè)小正三角形，圖3中有9個(gè)，圖4中有16個(gè)……由此可以推測(cè)出第9個(gè)圖形中應(yīng)有92=81個(gè)小正三角形，那么第n個(gè)圖形中應(yīng)有n2個(gè)小正三角形，問(wèn)題(1)得到解決。

問(wèn)題(2)呢?方法依舊。圖2要切割3刀，圖3要切割8刀。對(duì)于圖4，可以動(dòng)手實(shí)際切割完成，實(shí)踐的結(jié)果是15刀。這時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)：3=2²-1，8=3²-1，15=4²-1。由此可以推測(cè)、猜想、歸納出第9個(gè)圖形應(yīng)切割9²-1=80(刀)才能完成，不難得出第n個(gè)圖形應(yīng)切割(n2-1)刀后得出n2個(gè)小正三角形。

通過(guò)對(duì)試題的引申，大大發(fā)揮了題目的作用，加深了對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和理解，同時(shí)也發(fā)揮了典型試題在知識(shí)層面與能力層面的輻射功能，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的探索、歸納、猜測(cè)、聯(lián)想和邏輯思維能力是大有裨益的。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。