在對美的追問中體會數學的精神

設計意圖：

黃金分割，是人們公認的和諧美的化身。它不但在數學中扮演著魔幻般的角色，在建筑、藝術、自然現象乃至人類生活的一切領域，都可以找到這個精靈的存在，這也正是黃金分割的神奇之所在。數學，恰恰能夠讓人們比較客觀、精確地尋找其中的奧秘。在數學活動課上，選取“黃金分割”這樣的題材，能夠有效激發學生數學學習的興趣，使他們從中感受到數學的精神，把握數學的思想和方法。

因此，筆者結合六年級“比”的教學，開設了一節以“黃金分割”為主題的數學活動課。

設計思路：

一、以神奇引發學生的好奇

黃金分割的迷人之處就在于它的共性美，黃金分割所帶來的和諧、適中的美是人們普遍的感受。以此作為教學的切入點，能夠引發學生的好奇心，產生探究的欲望。因此，筆者以三組電視塔設計圖的甄選導入新課。

課堂實錄：

(一)生活導入，激發探究欲望

1.出示下圖。

師：某市準備新建電視塔，這是以“玉柱擎天”為主題的兩幅設計圖。請同學們仔細觀察比較，如果讓你投票選擇，你會挑選哪一幅設計圖?

(大多數學生選擇第二幅設計圖)

師：為什么你們選擇了第二幅設計圖呢?

生1：我覺得第二幅設計圖看著比較舒服。

生2：第一幅設計圖觀光臺的位置太低了，而且上半部分那么長，感覺有點怪。

2.出示下圖。

師：這是題為“雨后春筍”的兩幅設計圖，你比較喜歡哪一幅呢?

(大多數學生還是選擇第二幅設計圖)

師：互相看一看，同學們的選擇跟你相同嗎?

3.出示下圖。

師：還有兩幅題為“含苞待放”的設計圖，你對哪幅更有好感呢?

(大多數學生不約而同地選擇第一幅設計圖)

師：想知道聽課老師的選擇嗎?

(現場的聽課教師大多數也是選擇第一幅設計圖)

4.出示六幅設計圖，將大家選擇的三幅設計圖置于第一行。

師：在這六幅設計圖中，大多數人不約而同地選擇了上面的三幅。同學們，你們不覺得這很神奇嗎?為什么大家的感覺如此相通呢?我們可以從數學的角度去探尋其中的奧秘。

二、以研究感悟數學的精神

讓學生經歷前人研究、發現、解釋并運用美的規律的過程，在這種“再創造”的過程中，學生必將感受到數學的精神。在這個過程中，數學的思想、方法是幫助學生解讀黃金分割之美的渠道。因此，用數學的眼光來觀察、用數學的思想來分析、用數學的語言來描述，是本節活動課的重點。唯有如此，學生方能充分感悟數學的精神。

課堂實錄：

(二)嘗試探究，了解黃金分割

1.尋找研究角度。

師：用數學的眼光來仔細觀察這三幅設計圖，它們是不是有什么共同之處?我們可以從什么角度去研究呢?

(片刻沉寂過后，只有個別學生舉手想表達自己的想法)

師：對同學們來說，這確實是一個較難的問題。不過，我給大家提供一些信息，或許會為你們的研究帶來一些啟發。

2.公布設計圖中上下兩部分的相關數據。

玉柱擎天：213米，340米；

雨后春筍：172米，278米；

含苞待放：228米，372米。

3.要求：請同學們先獨立研究，再與小組內的同學分享你的收獲。

(學生借助計算器獨立研究，并在小組內交流)

4.全班交流，尋找規律。

生1：我求出了三個電視塔的總高度，“玉柱擎天”高553米，“雨后春筍”高450米，“含苞待放”高600米。

(教師根據學生的回答板書算式)

師：求和，給你帶來什么發現嗎?

生1(搖頭無奈狀)：好像沒什么關系。

生2：我們小組是用電視塔上面的長度除以下面的長度，即213÷340≈0.626、172÷278≈0.619、228÷372≈0.613。

(教師板書算式)

師：你們發現了什么?

生：上半部分除以下半部分的商都是零點六幾。

生：我們的想法跟第二組差不多，設計圖上下兩部分的比值也是零點六幾。

生：我們是用下半部分的長度除以上半部分的長度，即340÷213≈1.596、278÷172≈1.616、372÷228

≈1.632，它們的商大約都在1.6左右。

5.揭示規律。

師：真了不起！你們剛才所發現的，很接近數學上一條很有美學價值的規律，那就是——黃金分割。(板書課題)

師：同學們，這是一個怎樣的規律，竟讓人們給它賦予“黃金”這樣尊貴的稱號?想知道黃金分割究竟是怎么回事嗎?

6.介紹人們發現黃金分割的歷史及相關的內容。

(出示畫面)

(配音內容：2500年前，打鐵鋪中富有節奏和起伏的聲響給了古希臘學者以啟迪，他們在探索“黃金矩形”的過程中，發現了一條具有美學價值的規律，那就是黃金分割。我們將一條線段c分成長短兩段，當a比b的比值等于b比c的比值時，這樣的比被稱為黃金比。它們的比值是0.618033988749894848204586834……人們一般取近似值0.618。古往今來，0.618這個數一直被后人奉為科學和美學的完美結合，人們把它叫做黃金分割數。根據黃金分割數將線段進行分割的點，就被稱為黃金分割點)

7.回顧：通過這段介紹，你知道了什么?（生答略）

8.思考：我們回過頭來看看剛才比較的設計圖，現在明白為什么這幾幅設計圖讓你覺得比較舒服了嗎？

生：因為設計圖上下兩部分的比值很接近0.618，所以我們看著就覺得比較舒服。

生：因為上下兩段的比很接近黃金比。

9.驗證。

師：那么，還有誰與誰的比值應該也比較接近0.618呢?

生3：下面一段和總長度的比。

師：是不是這樣，要用事實來說話。我們一起來算一算，驗證一下，如何?

(學生計算，驗證猜測)

10.小結。

師：當我們用數學知識來尋找、解釋美的規律時，就能發現其中的奧妙。

(三)領悟運用，體會美的奧秘

1.感受黃金分割的美。

師：如果我們舉辦一次以“黃金分割”為主題的演講活動，你是一名即將上場的演講者，這就是你將要登上的舞臺(出示舞臺畫面)，你會選擇站在什么位置進行演講呢?

師：能對你的位置作出一個準確的描述嗎?(同時出示舞臺寬度：15米)

(學生計算)

生：我選擇站在與舞臺左側相距9.27米的地方，因為這個位置很接近舞臺寬度的黃金分割點。

師：還有不同的選擇嗎?

生：也可以站在與舞臺右側相距9.27米的地方，這兒也很接近舞臺寬度的黃金分割點。

生：我選擇跟兩邊都相距7.5米的正中位置，我覺得這樣兩邊都不偏不倚。

師：如果你和主持人一樣習慣面朝右側，你覺得站哪個位置更合適呢?

生4：選擇左邊的黃金分割點站位。

2.認識黃金矩形，體會它的美及運用。

(1)認識黃金矩形。

師：剛才說到，黃金分割是人們在探索黃金矩形的過程中發現的規律。矩形，也就是長方形。每組的練習紙上都有幾個長方形，你覺得哪個長方形看起來最舒服?(學生觀察下面四個長方形后，大多數學生都選擇了第二個長方形)

師：為什么這個最美呢?現在，你能為自己的感覺尋找一個理性的證明嗎?

(學生分組討論并測量計算)

生1：這個長方形的長是5厘米，寬是3厘米，寬與長的比值是0.6，很接近0.618，所以看起來很舒服。

(2)創作黃金矩形。

每個學生根據練習紙上提供的一條線段，畫出一個寬與長的比符合黃金分割的長方形。

(展示并檢查學生畫出不同的長方形)

師：祝賀你們，畫出了世界上最接近完美的長方形，人們把這樣的長方形叫做黃金矩形。

(3)了解黃金矩形的應用。

師：好好欣賞一下你創作的黃金矩形，仔細看一看，像這樣寬與長的比符合黃金比的長方形，你在哪兒也見過嗎?有哪些物體的面就是黃金矩形呢?

學生紛紛舉例：信封、磁卡、電腦屏幕、照片、掛歷、收音機、瓷磚、國旗……等物體的面。

(師就學生所說的公交IC卡，讓學生測量、計算，并驗證其是否接近黃金矩形)

3.拍照取景選擇，深入體會黃金分割的美。

出示松鼠和背景。

師：照片的畫面也接近黃金矩形。看，草地上有一只可愛的小松鼠，想把它拍照下來嗎?

師：如果你是攝影師，準備怎樣取景呢?

出示：

指名學生拖動取景框設計畫面，四幅設計圖如下：

師：比較這四幅設計圖，你更喜歡哪幅設計?

(大多數學生選擇了第二幅設計圖)

師：能說說你選擇的理由嗎?

生：第二幅設計圖中，松鼠的位置稍稍偏右，表現出了一種眺望遠方的神情。

生：我知道，松鼠所在的那條虛線就是這個取景框中的黃金分割線。

師：說得很對！在這個取景框中，有幾條黃金分割線?

生3：四條。

師：有研究表明，人們對畫面中處于黃金分割線交叉點的位置最為敏感，所以取景時，將主角置于這樣的位置往往效果最好。

三、以震撼激發探究的欲望

黃金分割的內涵不是一節活動課就能了解透徹的，而且也不是憑著小學六年的數學知識積累就能解釋清楚的。隨著學生今后數學學習的深入，對黃金分割他們必定會有更加深刻和準確的理解。因此，本節課的重要價值就在于，通過讓學生運用數學嘗試解釋黃金分割的奧秘過程，感受數學的力量，并以黃金分割神奇的魅力，激發學生進一步探究的欲望。所以，把與黃金分割相關的大量素材以合理的組織方式呈現給學生，讓學生在震撼之余深深回味黃金分割的美妙與神奇，從而產生進一步探究其奧秘的向往，方能彰顯本課的價值。

課堂實錄：

(四)欣賞思考，感受美的價值

師：同學們，還想了解不同領域所見到的黃金分割嗎?

出示畫面并配音：

從4600年前修建的埃及金字塔到2400年前修建的巴特農神殿(帕臺農神廟)，再到埃菲爾鐵塔、東方明珠、聯合國大廈，在這許多著名的建筑中，人們發現了一個驚人的巧合，那就是它們都運用了黃金分割。嫵媚的愛神“維納斯’、健美的“大衛”、瀟灑的阿波羅，還有氣勢磅礴的兵馬俑，無與倫比的造型，折射出人們對黃金分割的領悟與運用。

斯特拉迪瓦里在制造他那有名的小提琴時，運用了黃金分割來確定f形洞的確切位置；二胡要獲得最佳音色，其千斤須放在琴弦長度的0.618處；當我們聆聽貝多芬、莫扎特、巴赫、舒伯特的樂典時，我們發現樂曲的高潮部分大多在5∶8的交叉點上……

讓我們把目光投向神奇的大自然。向日葵花張開笑臉，朝一個方向的花瓣與朝另一個方向的花瓣數目的比近似一個黃金比；嬌艷的玫瑰、質樸的雛菊，它們內外花瓣數目的比也接近一個黃金比；還有那工整的蜂巢、晶瑩的雪花、漂亮的鸚鵡螺，大自然的鬼斧神工，無時無刻不在向我們昭示著黃金分割的美妙與神奇。

除此以外，在工程建設、股市分析、軍事決策、數學研究及其他領域中，黃金分割的身影無處不在。

師：同學們，用一個什么詞來形容黃金分割給你帶來的感覺?

生：神奇！

生：美妙！

生：絕！

師：對于黃金分割，我們除了感受到它所帶來的美妙與神奇外，你還有什么想說、想問的嗎?

生4：我想知道，為什么黃金分割讓我們感覺到美?

生5：我想知道，黃金分割數的準確值到底是多少?

師：同學們，對于黃金分割，我們今天所了解的還遠沒有2500年前的古希臘人深刻。就像同學們所問的，為什么黃金分割能給人帶來美感?我們到底該如何準確地確定黃金分割點的位置?除了美，為什么它在許多領域都無所不在?這一個個問號擰成的結，你想解開嗎?雖然課已結束，但我們的探究才剛剛開始。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。