“平均步長”≠“步長的平均”

一、問題的提出

浙教版六年制小學數(shù)學課本第九冊“步測”一課有這樣一道例題：“王寧走40米的距離，第一次走了62步，第二次走了64步，第三次走了63步。他平均一步的長度是多少?”教材的解題步驟是：(62+64+63)÷3=189÷3=63(步)，40÷63≈0.63(米)。

一位教師執(zhí)教時先讓學生嘗試獨立解決，然后全班交流。匯報時，有學生提出了如下兩種不同的解法：

解法1：40÷62≈0.65(米)，40÷64≈0.63(米)，40÷63≈0.63，(0.65+0.63+0.63)÷3≈0.64(米)。解題思路是：先分別求出三次走的平均步長，再求出三個步長的平均數(shù)。

解法2：62+63+64=189(步)，40×3=120(米)，120÷189≈0.63(米)。其解題思路是：先求出三次走的總步數(shù)，然后求出三次走的總米數(shù)，最后求三次行走過程中的平均步長。

顯然，解法1是錯誤的。但執(zhí)教者對兩種解法都予以肯定，并解釋答案不一致是由于算法不同，導(dǎo)致近似計算的結(jié)果不同。在計算課本中的練習時，也有學生選用這種解法，且?guī)追N解法答案完全相同，這似乎更證實了這三種解法的可行性。課后筆者與幾位聽課教師交流，他們都認同執(zhí)教者的觀點。

二、問題的探索

首先，從學生解決問題的思維方式看。解法1是大部分學生容易想到的，因為按條件組合順序順向思考：先由第一、第二個條件就能聯(lián)想到可以求出第一次走的平均步長，同理求出另兩個步長后能順利求出平均步長。其次，從近似計算理論看，如果同一問題有不同算法，其近似計算結(jié)果不一致也確實是正常的。其實，解這道題的難點和關(guān)鍵是理解“平均步長”的含義，而執(zhí)教者恰恰忽視了這一概念，甚至自己都不清楚。

“平均步長”類似于我們熟悉的“平均速度”，具有特定的含義：幾次走的總路程÷幾次走的總步數(shù)=平均步長。據(jù)此，就不難理解解法1錯誤的原因。為幫助理解，現(xiàn)舉一個錯求“平均速度”的案例以作比較。

“小明上山走了600米，用了8分鐘，按原路返回他又用了4分鐘，求他來回的平均速度。”正確解法是先求出總路程：600×2=1200(米)，再求出總時間：8+4=12(分)，最后可求出平均速度：1200÷12=100(米/分)。常見的錯誤解法是分別求出上、下山兩個速度：600÷8=75(米)、600÷4=150(米)，再求速度的平均數(shù)：(75+150)÷2=112.5(米/分)。與后一種解法類似，解法1其實求的是三次步長的平均數(shù)。

解法2則完美地反映了“平均步長”的含義，而且其解法更具有一般性。課本中的解法雖然正確，但較難理解：先求出三次平均一次走幾步，再求出“平均走法”的步長，這就是“平均步長”。對此，可用上例簡化了的問題用字母推演方式作一證明：走兩次的平均步數(shù)為a+b/2，平均步長為m÷a+b/2=2m/a+b。答案顯然與解法2思路解得的相同。顯然，課本解法僅適用于幾次走的路程相同的情況，而這恰恰又是學生在理解上的一個難點。當幾次走的路程不同時，解法2更顯示出優(yōu)越性，建議教材改變例題的解答方式。

三、幾點討論

1.無論是從實際應(yīng)用角度還是從知識的難度而言，這部分知識的編排不盡合理。首先，現(xiàn)實中“平均步長”的獲得并非如此復(fù)雜；其次，“平均步長”的概念由計算模式定義。這樣的定義方式在小學是不多見的，單從字面上學生難以確切理解，計算也就大多建立在機械記憶上。

2.教師出現(xiàn)教學失誤首先是因為其數(shù)學知識的基礎(chǔ)不扎實，又不善于深入思考問題，課前設(shè)計時預(yù)設(shè)不夠精細等原因造成的。也有可能是教師受“學生為本”和“算法多樣化”的片面影響，養(yǎng)成了不敢或不舍得否定學生不同算法的習慣所致。“算法多樣化”的前提是教師能準確把握各種算法的原理與優(yōu)劣，不少教師在這方面尚有欠缺。

3.例題中的“距離”一詞改成“路程”更為恰當。因為路程是運動軌跡的實際長度，而距離通常是指“位移”這一向量的大小(即長度)。如右圖，物體運動由A經(jīng)B到C，其路程為｜AB｜+｜BC｜，A到C的距離是指向量ＡＣ的長度｜AC｜。顯然，當例題中行走的線路不是直線時，距離與路程就不相等。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。