高中數學教材例題質疑

高中《數學》第二冊(上)(人教版)106頁例3是一道以推進素質教育為宗旨，結合生產勞動實際的好題#65377;但解題過程(詳見教材)有兩處不妥:

1.不符合雙曲線的定義:我們把平面內與兩定點F₁#65380;F₂的距離的差的絕對值等于常數(小于|F₁F₂|)的點的軌跡叫做雙曲線#65377;括號里解釋的內容是定義成立的必要條件，不能忽視#65377;

2.分類討論是數學思想方法之一，大量體現在定義#65380;公式中，例如圓錐曲線的第二定義，再如等比數列的前項和公式#65377;數學問題的解決應以嚴謹#65380;科學為美，不能生硬套用定義或公式#65377;

因此，筆者認為該例題的解題過程應是:

解:(1)由聲速及A#65380;B兩處聽到爆炸聲的時間差，可知A#65380;B兩處與爆炸點的距離的差#65377;如果A#65380;B距離的差等于∣AB∣，則爆炸點位于直線AB以B為端點的射線BX上（如圖①）;如果A#65380;B距離的差小于∣AB∣，則爆炸點位于以A#65380;B為焦點的雙曲線上（如圖②）#65377;

圖①

圖②

（2）如圖②所示建立直角坐標系xoy，使A#65380;B兩點在x軸上，并且點O與線段AB的中點重合#65377;

設爆炸點P的坐標為(X，Y)，則∣PA∣-∣PB∣=340×2=680<800，即2a=680， 2c=800#65377;以下解法同教材#65377;

巧合的是：2005年高考數學題(江西卷第16題)亦針對雙曲線定義演繹了一道填空題中的判斷命題，與例3形如“同胞兄弟”:設A#65380;B為兩個定點，k為非零常數，若∣PA∣-∣PB∣=k，則動點P的軌跡為雙曲線#65377;考慮到∣k∣與∣AB∣的大小關系不確定，動點P軌跡可能是雙曲線，可能是射線，可能不存在#65377;

(責任編輯李 婧)