全錯位排列問題通解初探
2006-01-01 00:00:00趙艷梅
黑河教育 2006年6期
學習數學離不開解題，數學思維能力的培養主要是通過解題教學來完成的，故在解題教學中啟動創新思想，引導學生大膽探索，從而提高學生能力是每個數學教師的首要任務#65377;
為了更好地培養學生的探索能力，要把直觀思維的培養作為重要的教育內容#65377;直觀思維是以高度省略#65380;簡化#65380;濃縮的方式洞察問題實質的思維，能在一瞬間迅速解決問題#65377;其基本形式是直覺的靈感與領悟，因此在解題教學中要有意識地引導學生進行求巧探索，培養和發展學生的直覺思維能力#65377;現舉例予以研究說明:
有編號為1，2…，n的n個小球，將其裝入編號為1，2，…，n的n個盒中，每盒裝1個球，且球與盒的編號不同，問不同的裝球方法有多少種?
以上是全錯位排列問題，它的通解存在，下面我們來探索這個通解#65377;
為方便起見，設n個球的不同的裝球方法有an種，易知，
A.6種 B.9種 C.11種 D.23種
分析一:第一步甲取出的卡有3種可能;第二步由甲取出的那張賀年卡的供卡人取，有3種取法;第三步由剩余兩人中一人去取，有一種取法;第四步最后一人去取只有一種取法，所以，由分步計數原理，共有3×3×1×1=9種取法.
分析二:若甲取乙卡，分配方案如下表所示，此時，乙有甲#65380;丙#65380;丁3種取法，若乙取甲，則丙取丁#65380;丁取丙，故共有3種分配方案.
由分類計數原理，共有3+3+3=9種#65377;
由于此結果數不大，也可采用窮舉的思想，列樹型圖把結果列出來.
事實上，這就是一個全錯位問題，我們用遞歸數列來求n個元素a1，a2，a3，…，a構成全錯位(元素ai不在第i位上)的排列數.
解:設n個元素的全錯位排列數為In，從n個元素中任取一個ai，它可以在除第I位外的n-1個位置上，設ai在第j位上，對應的aj的位置有下述兩種情況.
(1)aj在第i位上，只有ai和aj的位置已確定，還有n-2個元素，每一個元素均有一個不能占的位置，問題轉化為n-2個元素的全錯位問題，有In-2種排法.
(2)aj不在i位上，此時只有ai的位置確定，還有n-1個元素，每個元素均有一個不能占的位置，問題轉化為n-1個元素的全錯位問題，有In-1種排法.
隨著教育改革的發展，數學探索已日漸成為數學教學的重要內容#65377;“在探中學”，在數學探索中尋求發現，在教學活動中實現創新，這已不僅僅是數學知識傳遞的需要，而應當成為每個中學數學教師的共識#65377;因此我們要讓學生以探索者的姿態出現，去探索，從求深#65380;求廣#65380;求新#65380;求異和求巧諸目的中去積極思維#65377;
(責任編輯 李 婧)
