妙用猜想 啟開心門

初中數(shù)學有關圖形旋轉的猜想與證明問題，需要學生通過認真審題，根據(jù)題意和給出的圖形變換前后的特點，通過適當添加輔助線，嘗試找出問題的有關隱含關系和相關的規(guī)律性，結合所學習的有關知識進行多角度猜想.這樣學生就是通過對陌生問題的探索，實現(xiàn)從已知到未知的過渡，喚醒對所學知識的運用，為后續(xù)新問題的證明做好鋪墊.這種題型能讓學生更好地理解和掌握數(shù)學概念，提高分析問題能力和邏輯思維能力，并從中體會到數(shù)學的無窮魅力.

1考題呈現(xiàn)

（2025·江蘇蘇州二模）【問題背景】人教版八年級下冊數(shù)學教材第63頁“實驗與探究\"問題1如下：如圖1，正方形ABCD的對角線相交于點 o ，點O 又是正方形 A₁B₁C₁O 的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，無論正方形 A₁B₁C₁O 繞點 O 怎樣轉動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的 想一想，這是為什么？（此問題不需要作答）

圖1

九年級數(shù)學興趣小組對上面的問題又進行了拓展探究、內容如下：正方形ABCD的對角線相交于點O 點 P 落在線段 OC 上 為常數(shù)）.

圖2

圖3

圖4

（1）特例證明：如圖2，將 RtΔPEF 的直角頂點 P 與點 O 重合，兩直角邊分別與邊 AB，BC 相交于點M，N.① 填空： ② 求證： PM=PN

（2）類比探究：如圖3，將圖2中的 ΔPEF 沿 OC 方向平移，判斷PM與 PN 的數(shù)量關系（用含 k 的式子表示），并說明理由.

（3）拓展運用：如圖4，點 N 在邊 BC 上， ∠BPN= 45^° ，延長 NP 交邊 CD 于點 E ，若 EN=kPN ，求 k 的值.

2思路分析

本題以正方形的特殊對稱性為切入點，關鍵在于通過不同方法揭示 PM 與 PN 的關系.

在特例證明中，當 PA=PC 時，可利用正方形對角線的角平分性質，構造全等三角形證明 PM= PN ；也可作點 P 到兩邊的垂線，借助直角與等長關系，再次得到結論.

類比探究時，一種方法是作 PG//BD ，利用相似三角形成比例推出 ；另一種方法是作 PG⊥ AB，PH⊥BC ，通過兩組相似三角形得到結論.

拓展運用部分，則結合勾股定理與相似三角形，分別求出 EN 和 PN ，進一步得到 k=3

由此可見，不同方法各有側重，或依賴對稱與全等，或利用相似與比例，或轉向代數(shù)運算，均能得出統(tǒng)一結論.這種多解法思維不僅深化了對幾何本質的理解，也體現(xiàn)了“妙用猜想\"的價值.

3試題解析

解析：（1）特例證明： ① 答案為1.

② 方法一：因為四邊形 ABCD 是正方形，所以可以得到 ∠APB=∠MPN=90^° ∠PAB=∠PBC= 45^°，PA=PB ：

所以 ∠APB-∠BPM=∠MPN-∠BPM ，即∠APM=∠BPN.

所以 ΔPAM?ΔPBN（ASA）

故 PM=PN ：

方法二：如圖5，過點 P 分別作 PG⊥AB 于點G，PH⊥BC 于點 H ，則 ∠PGM=∠PHN=90^° ：

因為四邊形 ABCD 是正方形，所以 ∠ABC=90^°

BD 平分 ∠ABC ，則 PG=GH .∠HPG=90^° ，所以 ∠MPN- ∠GPN=∠GPH-∠GPN ，即∠MPG=∠NPH ，則 ΔPMG? ΔPNH（ASA） ，故 PM=PN

圖5

（2）類比探究： PM 與 PN 的數(shù)量關系為

理由如下：

方法一：過點 P 作 PG// BD交BC于點 G ，如圖6，則 ∠AOB=∠APG ， ∠PGC= ∠OBC

圖6

因為四邊形 ABCD 是正方形，所以有 ∠PAM=∠OCB= ∠OBC=45^° ， ∠AOB=90^° ，可得 ∠APG=∠MPN= ∠AOB=90^°，∠PGC=∠PCG=∠PAM.

所以 PG=PC ∠APG-∠MPG=∠MPN- ∠MPG ，即 ∠APM=∠GPN

所以 ΔPAM～ΔPGN ，故

方法二：過點 P 分別作PG⊥AB 于點 G，PH⊥BC 于點 H ，如圖7.

于是 ∠PGM=∠PGB= ∠PHN=90^° ：

圖7

因為四邊形ABCD是正方形，所以可得 ∠BAC=∠BCA=45^° ∠ABC=90^°

因為 ∠PGA=∠CHP=90^° ，所以 ΔAPG～ ΔCPH ，則 中

因為 ∠GPH=∠MPN=90^° ，所以 ∠MPN- ∠GPN=∠GPH-∠GPN ，即 ∠MPG=∠NPH

所以 ΔPMG～ΔPNH ，則

（3）拓展運用：過點 P 作 PM⊥ PN 交 AB 于點 M ，作 PH⊥BC 于點H ，作 PG⊥AB 于點 G ，如圖8.所以∠MPN=∠GPH=∠PGM= （2∠ECN=90^° ，則 ∠MPN-∠GPN= ∠GPH-∠GPN ，即 ∠MPG=∠NPH ，則 ∠PMG= ∠PNH 由（2）和已知條件可得 PM=kPN ， EN= kPN ，則 PM=EN ，所以 ΔPGM?ΔECN（AA S），則_{GM=CN，PG=EC}

圖8

因為 ∠BPN=∠PCB=45^° ∠PBN=∠CBP 所以 ΔBPN～ΔBCP ，則 ，即 PB²=BC ·BN.

同理可得 PB²=BA?BM

又 BC=BA ，所以 BM=BN ，則 AM=CN ，于是AG=2CN ：

因為 ∠PAB=45^° ，則 PG=AG ，所以 EC=2CN 因為 PH⊥BC ，所以 ΔNPH～ΔNEC

所以

令 HN=a ，則有 PH=2a，CN=3a，EC=6a ， 則 ， ，所以

4解法總結

首先，這類正方形旋轉及相關幾何探究題，最核心的突破口在于對稱性與輔助線的使用.正方形本身具有高度對稱的性質，對角線、角平分線和邊往往能帶來等角、等長等結論.在遇到具體問題時，首先要觀察點或線段與對角線、邊的關系，判斷是否能利用這些對稱條件直接得到等長或等角結論.同時，若原圖中的關系不夠直觀，可以通過作平行線、垂線等方式添加輔助線，從而構造出直角三角形或引出角度、比例關系.這樣的“結構性突破\"是解題的第一步.

其次，要熟練運用全等與相似的方法.在處理旋轉或比例關系時，全等三角形常用于證明兩條線段相等，相似三角形則是建立比例關系的主要工具.尤其在引入?yún)?shù)或推廣到一般情況時，相似思想幾乎是不可或缺的.同時，遇到更復雜的數(shù)量關系時，幾何直觀往往不夠，此時應結合代數(shù)工具，例如，勾股定理或代數(shù)式的運算，來量化長度與比例.幾何提供結構和規(guī)律，代數(shù)提供精確的計算支撐，二者結合能夠幫助學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、嚴謹驗證結論，

最后，要遵循“特殊一一般—拓展\"的邏輯路徑.許多此類題目往往從特殊情境人手，先在簡化條件下驗證一個結論，再推廣到含參數(shù)的一般情況，最終引向更復雜的拓展應用.這種層層遞進的結構，正是數(shù)學問題解決的普遍模式：從直觀到抽象、從定性到定量.學生在這一過程中，不僅學會了用不同方法解決同一問題，更重要的是形成了“多角度思考\"的意識.在面對新問題時，就能主動嘗試不同思路，從而提升數(shù)學的整體素養(yǎng)與創(chuàng)造性.這正是“妙用猜想，啟開心門\"的深層價值所在.Z