發(fā)展推理意識，提高推理能力，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

1問題背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2022年版）》指出，核心素養(yǎng)包括“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為：運(yùn)算能力、推理意識或推理能力.推理能力主要是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推理出其他命題和結(jié)論的能力.推理能力的培育主要在初中階段[1].基于此，教師應(yīng)積極幫助學(xué)生發(fā)展推理能力這一核心素養(yǎng).

推理是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的前提和保障.在數(shù)學(xué)課堂上要重視學(xué)生推理能力的培養(yǎng)，使其成為提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的“助推器\"和落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的“穩(wěn)壓器\"[2]《課標(biāo)（2022年版）》中“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何\"\"統(tǒng)計(jì)與概率\"“綜合與實(shí)踐”四個領(lǐng)域的課程內(nèi)容都承載著培養(yǎng)學(xué)生推理能力的重任，除培養(yǎng)學(xué)生的幾何邏輯推理能力之外，還應(yīng)發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力[3.但是部分學(xué)生認(rèn)為，證明更多地體現(xiàn)在“圖形與幾何\"領(lǐng)域.筆者以北京師范大學(xué)出版社出版的初中數(shù)學(xué)教材（以下簡稱北師大版）八年級上冊第七章第一節(jié)“為什么要證明”為載體，通過對教材內(nèi)容的深度挖掘及再創(chuàng)造，引導(dǎo)學(xué)生明確證明的必要性，提升推理能力.

2課前分析

2.1教材分析

在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已積累了一些推理經(jīng)驗(yàn)與結(jié)論，但是學(xué)生對部分結(jié)論沒有進(jìn)行嚴(yán)格證明.本課的意圖之一則是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到探究得到的數(shù)學(xué)結(jié)論未必可靠，可靠的結(jié)論需要進(jìn)行嚴(yán)格的推理論證.本課是學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展推理意識、提高推理能力、培養(yǎng)核心素養(yǎng)的有效載體.

2.2學(xué)情分析

學(xué)生經(jīng)歷通過數(shù)學(xué)活動探究數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，并能應(yīng)用這些結(jié)論解決一些簡單的問題，具備一定的合情推理能力及初步的邏輯推理能力.但是部分學(xué)生對于觀察、歸納及實(shí)驗(yàn)獲得的結(jié)論是否可靠還不能很好地、有理有據(jù)地證明其正確性.

2.3目標(biāo)分析

本課總目標(biāo)為：明確證明的必要性，發(fā)展推理意識，提高推理能力，培養(yǎng)核心素養(yǎng).

具體目標(biāo)為：（1）經(jīng)歷觀察、驗(yàn)證、歸納等過程，在活動中體會探究得到的結(jié)論未必可靠，初步感受證明的必要性，發(fā)展推理意識；（2）了解確定數(shù)學(xué)結(jié)論正確與否的常用方法；（3）整合教材內(nèi)容，結(jié)合數(shù)學(xué)史，體會理性思考、批判質(zhì)疑及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神.

3主要教學(xué)過程

3.1觀察是否可靠

活動1：猜一猜.

問題1如圖1，三條線段 a，b，c ，哪一條和線段d 在同一直線上？

圖1

圖2

圖3

問題2如圖2，兩條線段 ψ_a，ψ_b 的長度相等嗎？問題3 如圖3，圖中四邊形是正方形嗎？

問題4若把地球看成球體，用一根比地球赤道長 1m 的鐵絲將地球赤道圍起來（每一處間隙都相等），那么鐵絲與地球赤道之間的間隙，你認(rèn)為最多能穿過以下哪樣?xùn)|西？

① 一根頭發(fā)絲；

② 一個拳頭；

③ 一個足球.

學(xué)生活動：對于問題1，學(xué)生通過操作得到正確結(jié)論；對于問題2和問題3，學(xué)生通過度量得到正確結(jié)論；對于問題4，學(xué)生經(jīng)歷自主探究和合作探究兩個過程，明確需要將問題數(shù)學(xué)化為同心圓，并通過計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證.設(shè)赤道周長為 ，鐵絲與地球赤道之間的間隙為 ，能放進(jìn)一個拳頭.

教學(xué)說明：通過視覺誤差的游戲引入新課，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，初步體會直觀得到的結(jié)論未必正確.其中問題4是難點(diǎn)，一是學(xué)生難以抽象出數(shù)學(xué)模型；二是學(xué)生難以想到用字母表示地球的周長或半徑；三是學(xué)生不習(xí)慣用代數(shù)推理解決問題.學(xué)生感受到觀察得到的結(jié)論未必正確，面對問題需要理性思考，可以通過實(shí)驗(yàn)、計(jì)算及論證等方式解決問題.

3.2歸納是否可靠

活動2：算一算.

問題5代數(shù)式 n²-n+11 的值都是質(zhì)數(shù)嗎？取η=0，1，2，3，4，5 試一試，你能否由此得到結(jié)論：對于所有自然數(shù) n?n²-n+11 的值都是質(zhì)數(shù)？

學(xué)生活動：部分學(xué)生將所給的 n 值代人 n²-n+ 11分別得到 11，11，13，17，23，31 ，其均為質(zhì)數(shù)，從而猜想 n²-n+11 的值都是質(zhì)數(shù)；也有學(xué)生將 n²-n+ 11理解為 n²+（-n+11），n² 不是質(zhì)數(shù)，當(dāng) n 為11時， n²-n+11 便不是質(zhì)數(shù)；還有學(xué)生將 n²-n+11 寫為 n（n-1）+11 ，只要 n 或 n-1 能被11整除， n²- n+11 的值就不是質(zhì)數(shù).

教學(xué)說明：學(xué)生感受到由若干特例歸納猜測的結(jié)論未必正確.活動發(fā)展了學(xué)生代數(shù)推理意識與能力.

活動3：讀一讀.

很多數(shù)學(xué)家都想找到求質(zhì)數(shù)的公式.數(shù)學(xué)家費(fèi)馬驗(yàn)證了當(dāng) n=0，1，2，3，4 時，式子 2²ⁿ+1 的值3，5，17，257，65537都是質(zhì)數(shù)，于是他高興地?cái)嘌裕骸皩λ械淖匀粩?shù) n，2²ⁿ+1 的值都是質(zhì)數(shù).”由于費(fèi)馬在數(shù)學(xué)界的崇高威望，以及驗(yàn)證這類數(shù)字是否為質(zhì)數(shù)的艱巨性，因此在很長一段時間里沒有人懷疑這一結(jié)論的正確性，并將其稱為費(fèi)馬數(shù).數(shù)學(xué)家歐拉指出，當(dāng) n=5 時 ，從而否定了費(fèi)馬的結(jié)論.更有意思的是，從第6個費(fèi)馬數(shù)開始，在費(fèi)馬數(shù)中再也沒有發(fā)現(xiàn)一個新的質(zhì)數(shù)，全都是合數(shù).有人甚至給出一個新的猜想：當(dāng) Ω_n 大于或等于5時，費(fèi)馬數(shù)全都是合數(shù)！

教學(xué)說明：通過閱讀數(shù)學(xué)故事，引導(dǎo)學(xué)生了解舉反例是否定一個結(jié)論的常用方法，培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑的科學(xué)精神.

3.3實(shí)驗(yàn)是否可靠

活動4：證一證.

問題6如圖4，在 ΔABC 中， D，E 分別是 AB，AC 的中點(diǎn)，連接 DE .那么 DE 與 BC 有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？請你先猜一猜，再檢驗(yàn)?zāi)愕牟孪耄⑴c同伴交流.

圖4

學(xué)生活動：如圖5，延長DE 至點(diǎn) F ，使 EF=DE ，連接 CF，CD ，易證 ΔADE? ΔCFE ，可得 AD 與 CF 平行且相等.所以 BD 與 CF 平行且相等，可證 ΔBDC?ΔFCD ，所以 DF 與 BC 平行且相等，從而可證 DE//BC，BC=2DE

圖5

教學(xué)說明：通過“觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)”發(fā)現(xiàn)“DE/BC，BC=2DE ”.在生生交流中，驗(yàn)證了猜想的正確性，學(xué)生初步感受到要說明一個命題是真命題需要經(jīng)歷“觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、證明”.這為學(xué)生獲得結(jié)論提供了方法，也培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神.

3.4總結(jié)遷移運(yùn)用

活動5：用一用.

問題7 （x-1）²=2（x-1） 是我們還未學(xué)習(xí)的一元二次方程，你能通過推理求出這個方程的解嗎？

學(xué)生活動：部分學(xué)生通過將等式兩邊同時除以整式 x-1 ，得到 x=3 ；部分學(xué)生認(rèn)為需要分類討論，當(dāng)x-1≠0 時，得 x-1=2 ，故 x=3 ；當(dāng) x-1=0 時，得x=1 ；也有學(xué)生將 （x-1）²=2（x-1） 整理為 x²- 4x+3=0 ，通過配方求解；還有學(xué)生將 （x-1）²= 2（x-1） 變?yōu)?（x-1）²-2（x-1）=0 ，得到 （x-1） ·[（x-1）-2]=0 ，進(jìn)而求解.

教學(xué)說明：在等式的基本性質(zhì)中，除式不為0容易被忽略.問題7一方面可以加強(qiáng)學(xué)生代數(shù)推理的意識；另一方面可以打通知識學(xué)段的界限，讓學(xué)生真切地感受到結(jié)論的獲得需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.

問題8已知定理“在直角三角形中，如果一個銳角等于 30^° ，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”，改變其條件和結(jié)論的位置得到：“在三角形中，如果一個銳角等于 30^° ，它所對的邊等于另一條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.\"改變后的結(jié)論正確嗎？

學(xué)生活動：可以通過勾股定理的逆定理來證明.

教學(xué)說明：學(xué)生往往認(rèn)為定理的逆命題也是真命題，并在推理中作為證明的依據(jù)加以應(yīng)用，本探究有利于學(xué)生對互逆命題和互逆定理形成一定的認(rèn)知，進(jìn)一步明確“為什么要證明”.

3.5增強(qiáng)民族自信

活動6：看一看.

教師播放關(guān)于“哥德巴赫猜想”的視頻資料，學(xué)生通過了解“陳氏定理\"增強(qiáng)民族自豪感.

4教學(xué)思考

4.1回歸教材本源，豐富推理素材

推理能力不能脫離教學(xué)內(nèi)容來培養(yǎng).教材是最好的資源.北師大版教材在課堂學(xué)習(xí)、拓展閱讀、課后習(xí)題等各部分均設(shè)計(jì)了適切、豐富且緊跟時代的問題情境.教師需要在教材的深度與廣度上做加法[4].對于三角形中位線定理的探究，教材要求學(xué)生通過測量來猜想 DE//BC，BC=2DE ，通過改變?nèi)切蔚男螤睿诓煌娜切沃卸啻悟?yàn)證猜想，從而體會猜想結(jié)論的正確性.但本課進(jìn)一步提出特殊并不能代替一般情況，因此，教師引導(dǎo)學(xué)生通過合作交流，找到說明結(jié)論正確的證明方法.在尊重教材的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步的挖掘，這是對教材內(nèi)容的延伸，也很好地說明了證明的必要性.

4.2強(qiáng)調(diào)代數(shù)推理，完善推理能力

從推理類型來看，初中階段的推理有幾何推理和代數(shù)推理.代數(shù)推理側(cè)重?cái)?shù)和式或數(shù)量關(guān)系的變形及轉(zhuǎn)換，相對比較抽象.代數(shù)推理是學(xué)生數(shù)學(xué)思維向更高層次發(fā)展的必備能力[5.本節(jié)課涉及了大量的代數(shù)推理素材，如鐵絲繞地球， n²-n+11 的值是否是質(zhì)數(shù)，費(fèi)馬的失誤等.在對 n²-n+11 的值是否是質(zhì)數(shù)的探究活動中，教師引導(dǎo)學(xué)生舉出反例說明歸納獲得的結(jié)論未必可靠，發(fā)現(xiàn)兩種推理方式說明 n²-n+11 的值不一定是質(zhì)數(shù).其與鐵絲繞地球的問題一起，有效地促進(jìn)學(xué)生理解代數(shù)推理，培養(yǎng)了學(xué)生的代數(shù)推理能力，完善了學(xué)生對推理的認(rèn)知.

4.3巧設(shè)探究活動，明晰推理依據(jù)

數(shù)學(xué)對象的抽象性、數(shù)學(xué)活動的探索性、數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)語言的特殊性決定了正處于思維發(fā)展階段的中學(xué)生不可能一次性地直接把握數(shù)學(xué)的本質(zhì).每節(jié)課的數(shù)學(xué)活動有不同的目標(biāo)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從整體到局部，再由局部到整體進(jìn)行思考，洞察數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)特征.這就要求教師將核心知識分解為活動.活動之間要結(jié)構(gòu)明確，多向融通，并指向核心問題的解決.如本課探究部分設(shè)計(jì)了三個平行活動，學(xué)生獲得了三個體會，即通過觀察、歸納、實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論不一定準(zhǔn)確，要確定一個結(jié)論是正確的，則必須通過嚴(yán)格的推理證明.活動間既平行又遞進(jìn)，如圖6所示.

圖6

4.4重視整體設(shè)計(jì)，建構(gòu)知識體系

整體設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)“大目標(biāo)”和“大視野”“大目標(biāo)”意味著教師在教學(xué)中應(yīng)更關(guān)注素養(yǎng)目標(biāo).“大視野”意味著教師在教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生從一開始便帶著整體的愿景構(gòu)建知識體系.因此，教師首先需要提取出這節(jié)課的大概念，并設(shè)計(jì)能夠幫助學(xué)生建立這些大概念的教學(xué)目標(biāo)，進(jìn)而生成整體效應(yīng).如圖7所示.

本課除為本章知識搭建知識框架及培育推理能力外，還鼓勵學(xué)生打破學(xué)段的限制，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思想大于方法，為命題、定理等相關(guān)知識的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，幫助學(xué)生構(gòu)建關(guān)于證明的知識體系.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S.北京；北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]林森.提升推理能力發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)—以探索“直角三角形的性質(zhì)定理”為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2023（14）：44-46.

[3]李德寶.初中數(shù)學(xué)應(yīng)加強(qiáng)四種關(guān)鍵能力的培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)通訊，2023（13）：6-9.

[4吳曉紅，謝海燕.基于學(xué)科核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)課例研究[M.上海：華東師范大學(xué)出版社，2019：58-59.

[5]陳卓.基于專題研究課發(fā)展代數(shù)推理能力—以“5.4二次函數(shù)與一元二次方程（1）”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（20）：10-11.

[6]林再生，鄭為勤.優(yōu)化讓學(xué)促思提升思維品質(zhì)—以“為什么要證明\"為例[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（4）：28-31.Z