考查三角形相似填空題的四種類型突破

在初中數學填空題中，涉及相似知識的試題具有較高的綜合性與靈活性，常結合圖形的特殊性質、線段的比例關系及幾何量之間的轉化進行考查.從近年試題來看，這類題型大致可分為四類：一是求線段長，二是求線段比，三是相似與周長相關，四是相似與面積相關.掌握不同類型問題的求解思路與方法，不僅有助于突破中考填空題的相似考查，還能提升整體幾何解題水平.

1求線段長

（2025年南京模擬）在正方形ABCD中，連接對角線 AC ，點 E 是邊 AB 的中點，連接 DE 交 AC 于點F，GF⊥AD 于點 G ，若 AB=12 ，則 FG 的長為

分析：先證明 ΔCDF～ΔAEF ，再證明 ΔDGF^°O ΔDAE ，結合正方形的性質解答即可.本題考查正方形的性質、三角形相似的判定和性質，熟練掌握相似的判定和性質是解題的關鍵.

解析：因為正方形ABCD中， E 是邊 AB 的中點，

AB=12 ，所以 由

DC//AB ，得 ΔCDF～ΔAEF ，所以

2，則 =

因為 GF⊥AD，AE⊥AD ，所以 FG//AE ，所以ΔDGF～ΔDAE ，則 ，所以 3，解得 FG=4 故答案為：4.

點評：本題將正方形的對稱性與相似三角形結合，層層構造相似關系，通過比例傳遞求解目標線段.關鍵在于準確判定相似三角形，并利用正方形邊長與中點條件確定對應邊成比例，進而推導未知量.步驟簡潔但邏輯性強，對相似比例的傳遞掌握要求較高.

此類題型重點在于判定相似三角形，利用圖形中的平行線、垂線和中點等條件，構造多個相似三角形.通過比例關系的傳遞，將已知邊長信息逐步轉化為目標線段的長度.利用正方形的特殊性質，如邊長相等、對角線互相垂直且平分等，有助于簡化計算.解題時應注意多個相似三角形之間的聯系，保持推理的連貫性，確保比例關系的準確傳遞，避免混淆對應邊，

2求線段比

（2025年杭州模擬）如圖1，在矩形 ABCD 中，對角線 AC，BD 交于點O，OE//CD 交BC于點E ，連接 AE 交 BD 于點F ，則

圖1

分析：設 OE=a ，證明 OE 是 ΔBCD 的中位線，得 CD=AB=2OE=2a ，再證明 ΔABFΔEOF ，得BF=2OF ，進而得 OB=BF+OF=3OF . BD= 2OB=6OF ，由此可得 的值.

解析：設 OE=a .因為四邊形 ABCD 為矩形，對角線 AC，BD 交于點 O ，所以 AB=CD，AB//CD，OB= 因為 OE//CD .則 OE⊥BC ，所以 BE=CE ，則 OE 是 ΔBCD 的中位線，所以 CD=AB=2OE=2a .因為 AB//CD，OE// CD ，所以 AB//OE ，于是 ΔABFΔEOF ，所以 BF ： ，可得 BF=2OF ，所以OB=BF+OF=3OF ，于是 BD=2OB=6OF ，所以 .故答案為：

點評：本題融合矩形性質、中位線定理與相似三角形比例的運用，解法緊湊.通過中位線判定獲得邊長關系，再利用相似三角形的對應邊成比例特性，輕松推出所求比值.難點在于辨認中位線及其與相似的結合使用.

此類題型解題的關鍵是發現中位線和利用矩形的性質，將已知邊長與待求線段比聯系起來.通過證明輔助線為中位線，建立邊長倍數關系，再借助相似三角形的比例性質，逐步推導出目標比值.解題時應重視輔助線的選取，準確判定相似三角形，合理利用圖形的平行和垂直性質，確保比例鏈條完整，幫助簡化復雜關系.

3相似與周長相關

（2025年廣東模擬）如圖2，ΔABC 是一張銳角三角形的硬紙片， AD 是邊 BC 上的高， BC= 40cm，AD=30cm ，從這張硬紙片上剪下一個長 HG 是寬 HE 的2倍的矩形 EFGH ，使它的一邊 EF 在 BC 上，頂點 G，H 分別在 AC，AB 上， AD 與 HG 的交點為 M ，則矩形 EFGH 的周長為

圖2

分析：本題考查的是矩形的判定與性質、相似三角形的判定與性質.先證明 ΔAHGΔABC ，利用相似三角形的性質可得 BC，再建立方程求解即可.

解析：因為四邊形EFGH為矩形，所以 HG// EF ，所以 ΔAHG～ΔABC. 因為 AD⊥BC ，則 AM⊥ HG ，所以 BC·因為四邊形 HEDM 為矩形，所以有 MD=HE .因為 HG=2HE ，設 HE=x ，則 （HG=2x，MD=x ，所以 ，解得 x=12 ，所，以 HG=2×12=24 ，于是矩形EFGH的周長為2（24+12）=72（cm） .故答案為： 72cm

點評：本題巧妙將矩形與三角形相似聯系起來，通過高的分割形成相似比例，再結合矩形邊長關系轉化為周長計算.關鍵在于建立長度方程并準確代入求周長，綜合性較強.

這類題先通過相似三角形的判定確定矩形邊長的比例關系，然后結合矩形的性質求解邊長.通過建立長度方程，利用相似比例和矩形邊長的倍數關系，求得目標邊長，再計算周長.重點是正確判斷相似三角形及對應邊，分清長與寬的比例關系.解題過程中需有序列出已知和未知量，避免混淆，確保推理嚴密.

4相似與面積相關

（2025年安徽模擬）如圖3，已知 ΔABC～ ΔDEF ，則 ΔABC 與△DEF的面積比是

圖3

分析：本題考查相似三角形的性質，即相似三角形的面積比等于相似比的平方.利用相似三角形的性質時，要注意相似比的順序，同時也不能忽視面積比與相似比的關系.相似比是聯系周長、面積、對應線段等的媒介，也是相似三角形計算中常用的一個比值.根據題意求出相似三角形的相似比，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，利用因式分解化簡即可得出答案.

解析：因為 ΔABCΔDEF ，所以 EF，即 .因為 ，即 c²+ac= b²+ab，c²+bc=a²+ab ，所以 c²-b²+ac-ab=0 ，（204號 c²-a²+bc-ab=0 ，于是 （c+b）（c-b）+a（c-b）= 0，（c+a）（c-a）+b（c-a）=0. 所以 （c-b）（c+b+ a）=0，（c-a）（c+a+b）=0. 因為 a，b，c 為 ΔABC 的邊長，則 都為正數，所以 c-b=0，c-a=0 則 c=b，c=a ，所以 故答案為：

點評：本題直接考查相似三角形的面積比與相似比平方的關系，計算中還融入了代數等式的處理，屬于幾何與代數的結合型.解題核心是抓住面積比公式并確保相似比取值正確.

解題步驟為先判定相似三角形，確認對應邊順序，再利用面積比等于相似比的平方的性質.通常需要根據題中條件推導出相似比，避免錯誤匹配對應邊.注意代數計算中的簡化與合理性，保證最終面積比準確.解此類題需細致關注相似關系和比例順序，防止計算偏差.整體過程嚴謹，重點在于準確理解面積與相似比的關系.

綜上，在填空題中考查相似知識的題型中，關鍵是準確判定相似三角形并靈活運用其性質.無論是求線段長、線段比，還是涉及周長和面積的題目，都離不開對圖形中平行線、垂線、中點等特殊條件的敏銳捕捉.這些條件幫助構造多個相似三角形，形成比例鏈條，從而實現已知信息向未知量的傳遞.特別是在矩形和正方形等特殊圖形中，其邊長、對角線的固定性質為比例計算提供了堅實基礎.解題時應注重比例關系的連貫性和對應邊的準確匹配，防止混淆相似比的順序，確保推理嚴密.針對面積相關題目，還需理解面積比等于相似比平方這一原理，并結合代數技巧進行合理簡化.總體來看，掌握相似三角形的判定方法與性質，結合幾何圖形的特征，構建清晰的解題思路，是突破此類題目的根本.只有在細致觀察與規范推導的基礎上，才能高效準確地解決與相似知識相關的填空題.