二次函數相關最值問題破解

二次函數最值問題是一類高頻且綜合性較強的考查內容.本文旨在系統梳理此類問題的主要類型與解題思路，包括區間最值、線段最值、面積最值及周長最值.通過對這幾類問題的深人探討，不僅能幫助學生掌握解題規律，還能促進數學思想方法的內化與遷移，提升綜合運用能力.

1區間最值問題

例1已知 ，滿足 f（x-1）= f（3-x） ，且方程 f（x）=2x 有兩相等的實數根.

（1）求 f（x） 在 0?x?3 時的最大值.

（2）是否存在實數 m，n ，使得 f（x） 在 m?x?n 時的最小值為 4m ，最大值為 4n ？若存在，求出 m，n 的值；若不存在，請說明理由.

解析：（1）因為 f（x）=ax²+bx 滿足 f（x-1）= f（3-x） ，所以對稱軸為直線 從而 ，即 b=-2a .因為方程 f（x）=2x 有兩相等的實數根，所以 的判別式 ，也即（b-2）²=0 ，解得 b=2 ，則 a=-1. 所以 f（x）=-x²+ 2x=-（x-1）²+1 ，則 x=1 時， f（x） 有最大值1.故函數 f（x） 在區間[0，3]上的最大值是1.

（2）不存在.理由如下：

若 n?1 ，則 -m²+2m=4m，-n²+2n=4n，mlt; n ，解得 m=-2，n=0. 若 m?1 ，則有 -m²+2m=4n ，-n²+2n=4m，m m 6（n-m） ，又 n-mgt;0 ，所以 m+n=6 ，代入一 m²+ 2m=4n ，得 m²-6m+24=0 ，無解.若 mlt;1，ngt;1 ，因為此時函數的最大值為1，所以 4n=1 ，即 4，矛盾.綜上所述：存在實數 m=-2，n=0 ，使得 f（x） 在m?x?n 時的最小值為 4m ，最大值為 4n

2線段最值問題

例2 （2024·湖南長沙初三一模）如圖1，拋物線 y=ax²+bx+c（a≠0） 與 Ψ_x 軸交于 A（4，0），O 兩點， D（2，-2） 為拋物線的頂點.

圖1

圖2

（1）求該拋物線的解析式.

（2）點 E 為 AO 的中點，以點 E 為圓心，1為半徑作 ?E ，交 x 軸于 B，C 兩點.如圖 2，M 為 ?E 上的點，連接 OM ，取OM的中點 N ，則線段 DN 的長度是否存在最大值或最小值？若存在，請求出 DN 的最值，并說明理由.

解析：（1）因為拋物線的頂點 D（2，-2） ，所以設該拋物線的解析式 代入 A（4，0） ，則 ，解得 ，所以拋物線的解析式為

（2）根據題意，易得到點B（1，0），E（2，0） ，連接線段BN，EM ，如圖3.因為 OB=BE=1，EM=1，ON=NM ，所以有 .因為點中B（1，0） ，拋物線的頂點 D（2，-2） .

圖3

所以 在 ΔBDN 中， BD-BN?DN?BD+BN ，所以 ，當 B，D，N 三點共線時，取得最大值和最小值，故 DN 的最大值為 ，最小值為

3面積最值問題

例3 （2024·廣東東莞初三三模）如圖4，在平面直角坐標系中，拋物線 y=ax²+bx+3 與 x 軸交于點

A（-2，0），B（4，0） ，與 y 軸交于點 c （1）求拋物線的解析式；

圖4

備用圖

（2）若點 M 從點 A 出發，沿線段 _AB 以每秒3個單位長度的速度運動，同時點 N 從點 B 出發，沿線段BC 以每秒1個單位長度的速度運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設運動時間為 Ψ_t 秒，求ΔMBN 的面積 s 與 Ψ_t 的函數關系式，并求 s 的最值.

解析：（1）把點 A（-2，0），B（4，0） 分別代入 y= ax²+bx+3 ，得 4a—2b+3=0， 解得 （204號（16a+4b+3=0.故該拋物線的解析式為 （2）由題意知， AM=3t BN=t ，所以 MB=6-3t 由題意，得點 c 為（0，3）.在 RtΔBOC 中，

如圖5，過點 N 作 NH⊥ yAB于點 H .則 NH//CO ，故ΔBHN～ΔBOC ，所以 4 N B O M H x即 于是 ，t.因為點A（-2，0）.B（4，0），所以 AB=6 ，所以 當△MBN存在10時， 0 所以 S= 1 ，運動1秒使△MBN的面積最大，最大面積是 （

圖5

4周長最值問題

圖6

例4（2024·廣東東莞初三聯考）如圖6，在平面直角坐標系中，點 A（-1，0），B（0，3） 在拋物線 y=-x²+bx+c 上，該拋物線的頂點為 c ，點 P 為該拋物線上一點，其橫坐標為 Ψ_m

（1）求該拋物線的解析式.

（2）過點 P 分別向 x 軸 ?_?y 軸作垂線，垂足分別為點 M，N ，構造矩形PMON.當點 P 在 x 軸上方時，此時矩形 PMON 的周長 L 是否存在最值？若存在，請求出最值；若不存在，請說明理由.

解析：（1）依題，由點 A（-1，0），B（0，3） ，得 解得 所以 y=-x²+2x+3 0

（2）矩形PMON的周長存在最值.易得 D（3，0） ，設 P（m，-m²+2m+3），-12+2m+3. （20號

當 -1 2因為-2lt;0，所以當-1 當 0 示，矩形PMON的周為 L=2[m+（-m²+2m+3）]= 3 22（-m2+3m+3）=-2m 十2因為－2lt;0，所以當m

時，周長 L 有最大值，最大值為 ，所以周長L存在 （2號最大值

圖7

5解法總結

二次函數最值問題通用解題步驟：先建模，根據題意選好自變量與幾何量的對應關系，盡量用一個或兩個變量表示所有變化量；再代數化，把目標量用所選變量寫成二次函數或含二次項的代數式；接著尋求定義域——結合幾何約束寫出變量的取值范圍；然后對二次表達式進行配方（或利用對稱軸、頂點坐標、開口方向），并結合單調性分析端點情況，必要時分類討論并比較，求出最值；最后檢驗構造性，給出能達到最值的幾何構型并檢驗邊界條件與合理性.針對四類題型的要點：區間最值重在頂點位置與區間端點比較；線段最值常用距離公式、三角不等式與點線變換把斜段轉化為易處理的線段；面積最值多將面積用底 x 高 轉化為二次表達式，或用割補與相似三角形簡化；周長最值可視作若干邊長之和，常把自由邊用變量表示后同樣配方求頂點并利用對稱構造.Z