一道中考真題的探究與推廣

南京大學教授鄭毓信曾言：“用問題引領進行深度教學，促學生深度學習，全面落實核心素養.”如何實現上述目標？每年各省市的中考試題就是很好的素材，中考試題全面豐富，極有創意，只要用心去收集，并對中考試題進行深度探究與推廣，我們便可以借此將學生的思維引向深入，進而促進學生核心素養的發展，下面筆者以一道中考真題為例，進行深入思考與探究.

1真題再現

（2017·南寧）如圖1，已知拋物線 與坐標軸交于 A，B，C 三點，其中 c （0，3）， ∠BAC 的平分線 AE 交y 軸于點 D ，交 BC 于點 E ，過點D 的直線 ξ_l 與射線 _AC，AB 分別交于點 M，N

圖1

（1）直接寫出 a 的值、點 A 的坐標及拋物線的對稱軸；（2）點 P 為拋物線的對稱軸上一動點，若△PAD為等腰三角形，求出點 P 的坐標；（3）證明：當直線 l 繞點 D 旋轉時， 為定值，并求出該定值.

2試題分析

本題是二次函數的綜合題，主要考查的知識點包括用待定系數法求一次函數、二次函數表達式，等腰三角形的判定，相似三角形判定與性質，銳角三角函數.旨在提升學生的運算能力、推理能力、模型觀念與創新能力.第（1）小題用代入法即可解決問題；第（2）小題需要利用“兩圓一線\"進行分類討論；第（3）小題利用參數分別表達線段 AM，AN ，然后代人計算.

3深度探究

（1）由點 C（0，3） 解得 3.所以拋物線的解析式為 令 y=0 ，得 ，解得 或 .所以點 ，拋物線的對稱軸為

（2）如圖2，分別以點 A，D 為圓心， AD 為半徑作圓 A 、圓 D ，再過兩圓的交點作直線，這條直線就是線段 AD 的垂直平分線，圓A、圓 D 及 AD 的垂直平分線與對稱軸 的交點就是所求作的點，共有3個.易得點 ，點 ，因為點 P₂ 與點 E 重合，即點 A，D，P₂ 在同一直線上，所以點 P₂ 應舍去；設點 P₃ 的坐標為 ，因為點 ，點 D（0，1） ，由 P₃A=P₃D ，得 ，解得 t=-4 ，所以 P₃ 的坐標為 .所以，若 ΔPAD 為等腰三角形，那么點 P 的坐標為 ，或

圖2

第（3）小題的解答是我們研究的重點，努力尋找解答此小題的多樣解法，并深入挖掘試題所包含的數學本質特征，把問題從特殊拓展為一般，尋找解答此類問題的通性通法.

（3）解法1：如圖3，因為點 D 的坐標為（0，1），所以設直線 l 的解析式為 y=kx+1. 令 y=0 ，得 ，所以點N的坐標為 .又因為點 A 的坐標為 ，所以 .根據點 ，點 C（0，3） ，得直線 AC 的解析式為 y= 聯立 {y=√x+3，得 過點 M 作（y=kx+1，MG⊥x 軸于點 G ，則 .因為 ，所以 因為在 RtΔAOC 中， OC=3 ，所以 ∠CAO=60^° ，從而 AM=2AG= 所以 ：

圖3

解法2：如圖4，過點 M 作MG⊥y 軸于點 G ，可知 MG// ON ，所以 ΔMDGΔNDO ，所以 OD·由解法1知，∠ACO=30^° ，設 MG=t ，則

圖4

2t ，所以 .因為 DC=2 ，所以 DG=2- 由 （204號

即 解得 ON= 2

所以 所以 （20號

（20

點評：上述兩種解法利用銳角三角函數或相似三角形，將 AM，AN 用含字母的代數式表示出來，然后再計算 AM+AN，通過硬性計算得到結果，從而獲得證明，思路清晰，唯一的缺點就是計算量比較大，對考生的計算能力要求比較高.

解法3：如圖5，過點 D 作DF//AN 交 AC 于點 F ，易得ΔMFD～ΔMAN ，所以 AM' 即 因為

圖5

∠FAD=∠OAD=∠FDA ，所以 AF=FD .設 AF=

FD=m ，則 所以 ，即

在 RtΔFCD 中， （2

所以

解法4：如圖6，過點 D 作DH⊥AC 于點 H ，因為 AD 是∠CAB 的平分線， DO⊥AB ，則DH=DO=1. 因為 S_ΔAMN=

圖6

，所以 ，也即 ，整理得 ，所以

點評：解法3使用了一個重要的幾何模型，即“角平分線 + 平行線 $$ 等腰三角形”，然后利用相似三角形對應邊成比例進行轉化得到；解法4利用面積法建立關于 AM，AN 的等式，經轉化獲得證明，其中三角形的一特殊公式，即 ，該公式可通過銳角三角函數獲證，并不難理解，我們稱之為三角形面積計算的“正弦公式”

4結論推廣

通過本題的探究，我們得到了在直線 l 繞點 D 旋轉的過程中，始終有一個倒數和為定值的結論，出現此種現象的原因在哪里呢？根據解法3的解答過程，我們得到了一個重要的結論是 ，繼而得到了定值，為什么會有這樣一個結論呢？其根本原因在于， AD 是 ∠CAB 的平分線， FD//AN. 因此，存在兩條線段倒數和為定值的本質在于題中有一條角平分線，過角平分線上一點任作一條直線，這條直線截角兩邊（或其延長線）所得兩條線段的倒數和為定值，過這一點作一邊的平行線，被另一邊截得一條線段，上述定值為這條平行線段的倒數.如圖7、圖8所示，在這兩個圖形中，始終有結論：AM+ =

圖7

圖8

如何才能用好中考試題，其關鍵在于對中考試題的深入思考，從一題多解中挖掘數學問題的本質所在，然后通過啟發性問題，將學生的思維引向深入，促使學生的數學思考更全面合理，更有效深人.Z