多元策略助力，破解初中數學幾何題解題困境

幾何是初中數學不可或缺的一部分，在中考數學試卷中，幾何通常占據較高的分值比例.然而，由于幾何題目靈活多變，涉及知識廣泛，邏輯推理嚴密，使得許多學生在面對難題時感到無從下手，這不僅影響了學生的解題熱情，也削弱了他們對幾何學習的自信.為了幫助學生擺脫這一困境，初中數學教師需要積極探索并傳授多元解題策略，使學生可以更加迅速準確地找到解題的突破口，順利攻克幾何難題，從而重塑對幾何學習的信心.

1運用代數方法，精準解析幾何難題

在初中數學幾何題的解析過程中，學生應樹立一種全局性的“大數學觀”，這要求學生不僅能夠熟練應用幾何原理，還要學會融入代數方法，以突破幾何解題障礙[1].對此，初中數學教師可引導學生將特殊的幾何問題轉化為代數問題，運用代數方法通過計算、演繹及驗證，達到解決問題的目的，從而全面提升學生數學解題能力.

例1如圖1，已知△ABC為等邊三角形，點 E，F，D 分別在邊BC，CA，AB 上.請證明： ΔEFD 的周長不小于△ABC周長的 分析：本題要求證明的結論較為特別，關注的是兩個三角形周長之間的特定關系.如果僅依賴傳統的幾何方法，證明過程既困難又繁瑣，很難直接得出想要的結論.許多學生在面對這樣的證明題時不知道從何處著手，在這種情況下，教師可以引導學生轉換思路，嘗試融入代數知識，根據題目的具體要求，將問題與不等式相聯系，通過代數的推理與證明方法找到解題的突破口.

圖1

證明：設△ABC的邊長為 ι，AD=x，BE=y，CF= k ，則 BD=l-x，CE=l-y，AF=l-k

如圖2，過點 F，D 分別作邊 BC的垂線，垂足分別為 H，G ，則 FD 比 HG 長，且

圖2

易知， 于是，可得 同理， 所以 所以△EFD的周長不小于△ABC周長的

2精心構筑輔助線，有效突破幾何困境

在初中數學幾何題的教學中，輔助線的重要性不容忽視.當遇到難以直接解答或較為復雜的幾何題目時，通過引導學生巧妙地添加輔助線，能夠有效降低題目的難度，幫助學生找到解題的突破口[2].因此，在幾何解題訓練中，教師需要根據實際情況指導學生作出合適的輔助線，讓學生更快速地掌握解題要領，有效突破幾何困境，從而提高學生的解題能力和自信心.

例2如圖3，已知△ABC為直角三角形，其中∠B 是直角， ∠A=30^° ，點 E 為邊 AB 上的一個動點，連接 CE ，如果 BC=1 ΔABC 的面積為 ，求 的最小值.

圖3

分析：學生在仔細審視題目和圖形后發現，直接求解兩條線段的特定值有一定的難度.此時，教師可以引導學生深入觀察圖形，并嘗試通過作輔助線將兩條線段整合為一條線段，這樣的轉化有助于簡化問題，使求解過程更為直觀，從而讓學生更容易找到線段的最小值.

解：由 ∠B 是直角， BC=1 ，可得

解得 ：

如圖4，作 ED 垂直于 AC，D 為垂足.因為 ∠A=30^° ，所以 所以

圖4

作點 C 關于 _AB 的對稱點 F ，作 FG 垂直于 AC 4

G 為垂足，與 _AB 相交于點 M 于是可得

FG ，即 FG 為所求的最小值.根據題目條件，可得 ∠MCB=∠F=30^° 所以 中于是 所以 所以 =所以 故 的最小值為

3采用逆向思維策略，系統攻克幾何難題

在初中數學幾何教學中，證明題是一種常見題型.解決這類題目時，需要學生展現出較強的邏輯推理能力.然而，有些證明題從正向思維切入直接證明難度較大，步驟繁瑣.這時，教師可以引導學生嘗試運用逆向思維策略，從要證明的結論出發，反向尋找證明的路徑.如果在逆向推導的過程中發現與題目的已知條件或前面的推導步驟產生矛盾，那么就說明這個結論無法成立，需要重新審視解題思路[3].通過這種逆向思維的訓練，學生可以更系統地攻克幾何證明題，提升解題效率和準確性.

例3如圖5，在圓 O 中，存在兩條非直徑的弦AB和 MF ，請證明：弦AB和MF無法相互平分.

分析：面對這類幾何證明題，學生往往會感到無從下手.此時，可以先假設圓內的這兩條非直徑弦是可以相互平分的，然后基于這個假設進行邏輯推理和證明.如果在推理過程中發現與已知的幾何定理或性質產生矛盾，那么假設就不成立，從而證明原題設的正確性.

圖5

證明：如圖6所示，設弦MF和弦 AB 相交于點 Z ，連接 OZ ：

假設弦 _AB 與弦MF能夠相 互平分，那么MZ與 FZ，AZ 與 BZ 均是相等關系.

圖6

又因為弦 AB 和弦 MF 并非圓 o 的直徑，所以OZ⊥MF，OZ⊥AB ，那么這與“在平面內過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”這一定理相沖突，因此 AB 與弦MF能夠相互平分不成立，即弦AB與MF無法相互平分.

總而言之，在初中數學的教育實踐中，教師需要關注幾何題型的構思與布置.通過策劃富有挑戰性的幾何專題練習，指引學生深入剖析題目意圖，根據題目條件靈活運用代數方法、添加輔助線、逆向思維等多種策略，以攻克難題，從而逐步增強學生的幾何解題能力.

參考文獻：

[1]魏倩倩.初中幾何問題解題中的證明策略與方法研究[J].數理天地（初中版），2024（10）：41-42.

[2]陳麗平.運用幾何變換，巧解初中幾何綜合題[J].家長，2023（33）：88-90.

3陳家燦.初中幾何反常規路徑問題的解題策略探析[J」中學數學研究（華南師范大學版），2023（14）：44-47.Z