初中數(shù)學(xué)解題反思路徑探析

在解題時(shí)，學(xué)生往往想盡一切辦法，絞盡腦汁，但在解題完成后卻忽視總結(jié)反思解題的探索過(guò)程，導(dǎo)致解題能力沒(méi)有明顯的提升.其實(shí)，解題反思是解題的重要環(huán)節(jié)，通過(guò)對(duì)解題進(jìn)行回顧、思考、總結(jié)與提升，有利于提升解題能力，發(fā)展思維品質(zhì)，提升核心素養(yǎng).

1審題反思：弄清問(wèn)題全部條件

要解決問(wèn)題需要找到問(wèn)題的切入口，弄清問(wèn)題的全部條件是找準(zhǔn)切入口的前提.在審題時(shí)，學(xué)生只有讀出題目包含的外在條件與內(nèi)含條件，才能找到正確的解題思路.這就需要教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行審題反思，審視問(wèn)題所給條件及相關(guān)結(jié)論，挖掘出問(wèn)題中的全部條件，只有考慮周全，才不會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)解.

例1若實(shí)數(shù) x，y 滿足 ∣x-6∣+（y-7）²=0 ，則以 x，y 的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為（ ）.

A.19 B.20C.19或20 D.以上答案都不對(duì)

分析：根據(jù)絕對(duì)值與完全平方數(shù)的非負(fù)性，可得x-6=0，y-7=0 ，解得 x=6，y=7. 而以6，7的值為兩邊的等腰三角形，沒(méi)有確定對(duì)應(yīng)等腰三角形的腰和底邊.因此應(yīng)分兩種情況討論.一是當(dāng)腰長(zhǎng)為6，底邊為7時(shí)，它的周長(zhǎng)為 6+6+7=19 ，且符合三角形三邊關(guān)系；二是當(dāng)腰長(zhǎng)為7，底邊為6時(shí)，它的周長(zhǎng)為 ⁷⁺⁷⁺ 6=20 ，且符合三角形三邊關(guān)系.所以這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為19或20.故選：C.

此題的顯性條件有兩個(gè)：一是 0，二是以 x，y 的值為兩邊長(zhǎng)的三角形是等腰三角形.內(nèi)含條件是：對(duì)于等腰三角形，當(dāng)腰與底邊沒(méi)有明確時(shí)，需要進(jìn)行分類討論.只有弄清題目的外在條件和內(nèi)在條件的全部含義，才能正確順利解題.因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真對(duì)待審題反思，尤其是要在審題反思中抓住內(nèi)在條件，只有這樣，審題時(shí)才能抓住問(wèn)題本質(zhì).

2思路反思：找到解題關(guān)鍵路徑

如何對(duì)解題思路進(jìn)行反思？筆者認(rèn)為，可以從以下三個(gè)方面進(jìn)行：一是是否真正理解了題意，并獲取了有用的信息，如題目中的數(shù)與式有什么特點(diǎn)？幾何圖形屬于何種幾何模型.二是此題考查了哪些相關(guān)公式、定理或法則.三是如果將兩組信息或三組信息結(jié)合，你能否推出一個(gè)符合邏輯的結(jié)論.

例2 已知 a²-3a-1=0，b²+3b-1=0 ，且ab≠1 ，求 的值.

分析：當(dāng) ψ_aψ，b 是一元二次方程 x²-3x-1=0 的兩個(gè)根時(shí)，我們有方程 a²-3a-1=0，b²-3b-1=0 .但是題目中第二個(gè)方程 b²+3b-1=0 與方程 b²- 3b-1=0 系數(shù)不統(tǒng)一，如何通過(guò)轉(zhuǎn)化使其系數(shù)統(tǒng)一呢？當(dāng)在第二個(gè)方程的兩邊都除以 b² 時(shí)，得 ，兩邊同乘 -1 ，可得 ）-3·-1=0.這個(gè)方程的形式與α2-3a-1=0的形式相同，所以α，b是一元二次方程 x²-3x-1=0 的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，得 所以

此題所給兩個(gè)方程相似但不相同，如何轉(zhuǎn)化為兩個(gè)形式相同的方程呢？這是解題思路的第一步，解答時(shí)利用等式的基本性質(zhì)進(jìn)行了兩步轉(zhuǎn)化.如何將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為用兩數(shù)積或和表達(dá)的代數(shù)式呢？這是解題思路的第二步，解答時(shí)利用分式基本性質(zhì)進(jìn)行了轉(zhuǎn)化.本題解題的關(guān)鍵路徑是利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系將問(wèn)題與條件實(shí)現(xiàn)有效結(jié)合.

3解法反思：解中求多，多中求妙

解題反思中，教師應(yīng)給學(xué)生提供多樣的思考方法，如一題多解、直觀與抽象相互轉(zhuǎn)化的方法等，引導(dǎo)學(xué)生反思，在解答中力求多樣化，在多樣化中求最優(yōu)化，以提高學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生思維品質(zhì).

3.1一題多解

例3如圖1，在 ΔABC 中， D 在 AC 邊上， AD：DC= ω₁：2，O 是 BD 的中點(diǎn)，連接 AO 并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn) E ，則 BE ：

圖1

解法1：作 DF//AE 交 BC 于點(diǎn) F ，如圖2.在 ΔBDF 中，因?yàn)?OE//DF ，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得 ，即BE=EF .在 ΔAEC 中，因?yàn)镈F//AE ，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得 ，所以CIEC=BE：3BE=1：3.

圖2

CF=2EF .故 BE ：

解法2：過(guò)點(diǎn) D 作 DF//BC 交 AE 于點(diǎn) F ，如圖3所示，易知ΔBOE～ΔDOF ，所以 OD·又 OB= OD，所 以 BE =

圖3

DF.在 ΔAEC 中，因?yàn)?DF//EC ，所以 ΔAFD～ ΔAEC ，則 AC： 因?yàn)?AD：DC=1：2 ，所以AD：AC=1：3 ，則 ，從而 BE：EC=1：3

解法3：過(guò)點(diǎn) B 作 BF//AC 交 AE 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F ，如圖4所示，易知 ΔBOFΔDOA ，所4以 AD·因?yàn)镺B=OD，所 B 'E以 BF=AD .因?yàn)?BF//AC ，所 F以△BFE∽△CAE，所以 AC·因?yàn)?AD： DC=1： 2，所以 AD： AC=1：3，則BF：AC=1：3 ，從而 BE：EC=1：3

解法4：過(guò)點(diǎn) A 作 AF// BC交 BD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F .如圖5所示，易知 ΔADFO ΔCDB ，所以 ·因?yàn)镺B=OD，所以 BO=OD=DF ，從而 因?yàn)?AF//BE ，所以ΔAOF～ΔEOB ，所以 設(shè)BE=x，則AF=2x BC=4x ，所以 EC=3x ，從而 BE：EC=1：3

圖5

解法1通過(guò)作輔助線形成了兩個(gè)“A字型”相似，解法2通過(guò)作輔助線形成一個(gè)“A字型\"相似與一個(gè)“X字型\"相似，解法3、解法4通過(guò)作輔助線都形成了兩個(gè)“X字型\"相似.不論是過(guò)哪一點(diǎn)作哪條直線的平行線，這組平行線均實(shí)現(xiàn)了雙重作用，這是作輔助線是否正確的重要標(biāo)準(zhǔn).不難發(fā)現(xiàn)，一題多解可以從多種解法中發(fā)現(xiàn)共性與本質(zhì)，有利于發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì).

3.2抽象直觀

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，利用幾何直觀，可以將抽象的問(wèn)題通過(guò)建立直觀的數(shù)學(xué)圖形，化隱性為外顯，化抽象為直觀，快速找到解題途徑，如將已知中的數(shù)量關(guān)系放置在特定的圖形中，以形助數(shù)，以數(shù)解形，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破.

例4如圖6，矩形ABCD中， ?AC=7cm，AB=5.63cm 點(diǎn) E 在邊 AB 上， BE=3 cm.點(diǎn) F 為對(duì)角線 AC 上的動(dòng)點(diǎn)，連接 EF，BF .請(qǐng)根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)通過(guò)畫圖、測(cè)量的方式，探究當(dāng)ΔBEF 為等腰三角形時(shí)， AF 的長(zhǎng)度約為多少？

圖6

分析：先根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)畫出矩形，然后測(cè)量 AF 的長(zhǎng)度分別為 _{0，1，2，3，4，5} ，6，7時(shí) BF 和 EF 的長(zhǎng)度（單位： cm 0，再根據(jù)這些數(shù)據(jù)描點(diǎn)畫圖.

圖7

某同學(xué)的探究結(jié)果如下：設(shè) AF=xcm，BF=y₁cm，EF=y₂cm. 所畫函數(shù)圖象如圖7所示，由圖7可以看出：當(dāng) _y2=3 ，即 BE= EF 時(shí)， x≈4.65（cm） ；當(dāng) y₁=y₂ ，即 BF=EF 時(shí)， x≈ 5.35（cm） .故 AF 的長(zhǎng)度約為 4.65cm 或 5.35cm .因測(cè)量誤差答案不唯一，

此題利用畫函數(shù)圖象的方法得到當(dāng)一個(gè)三角形是等腰三角形時(shí)，其中一條線段 AF 的長(zhǎng).在解答時(shí)，通過(guò)幾何直觀，根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定 AF 的長(zhǎng).此題是抽象與直觀轉(zhuǎn)化的典型實(shí)例.

綜上，解題反思包括審題反思、解題思路反思、解題方法反思，解題反思不僅僅是只看一遍解題過(guò)程，而是要展開多角度反思.通過(guò)科學(xué)的反思，可以提高學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)