賞析多元解法 優化教學策略

二次函數中特殊四邊形、特殊角存在性問題是命題的熱點，旨在考查學生的綜合能力與核心素養等.基于此，以一道二次函數中特殊四邊形、特殊角存在性問題為例，通過對此題的解答，談一談筆者的思考.

1試題呈現

如圖1，拋物線 y=-x²+ bx+c 與直線 +2交于C，D 兩點，其中點 c 在 y 軸上，點 D 的坐標為 ，點 P 是 軸右側拋物線上的動點，過點 P 作PE⊥x 軸于點 E ，交 CD 于點 F ：

圖1

（1）求拋物線的解析式.

（2）若點 P 的橫坐標為 Σ_m ，當 Σ_m 為何值時，以 o .C，P，F 為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由.（3）若存在點 P 在 CD 的上方，使 ∠PCF=45^° 請直接寫出相應點 P 的坐標.

2多解展示

2.1第（1）問解析

本小題是二次函數綜合題中較常規的一問，考查學生能否利用待定系數法求拋物線的解析式.過程略，拋物線的解析式為y=-x2+ 2x+2.

2.2第（2）問解法

解法1：由題意，得 OC//PF ，要使以點 c，o，F ，P 為頂點的四邊形是平行四邊形，只需 PF=OC 即可.因為點 P 的橫坐標為 Ψ_m ，點 P 在拋物線 y= x+2上，所以點P（ 為 OC//PF ，所以點 F 的橫坐標也是 Σ_m ，又點 F 在直線y x+2上，所以點F（ .而點 P 可能在點 F 的上方，也可能在點 F 的下方，則 PF= .因為 OC=2 ，所以 ，化簡得 -m²+ 3m=2 或 -m²+3m=-2. 由 -m²+3m=2 ，得 m=1 或 m=2 ；由 -m²+3m=-2 ，得 或 m= （20 （舍去）.綜上所述 m=1 或2或

解法2：由題意，得 OC//PF ，要使以 C，O，F，P 為頂點的四邊形是平行四邊形，則只需 PF= OC 即可，如圖2所示，點 P 也可以看作是直線 CD 沿 軸平移兩個單位長度后所得直線與拋物線的交點，因此只需求兩個函數圖象的交點坐標.

圖2

將直線 沿 軸向上平移兩個單位長度后，所得直線的方程為 聯立 解得 x₁=1，x₂=2 ，所以 m₁=1 ，m₂=2. 將直線沿 軸向下平移2個單位長度后，所得直線為 x.聯立 解得 x₃= （舍去），則 綜上所述 m=1 或2或

點評：解法1是根據點的坐標及兩點之間的距離建立方程，解法2是將點 P 看作兩函數圖象的交點，兩種解法都使用了數形結合思想，即根據平行四邊形的判定方法，得到一個數量關系，然后根據數量關系建立函數或方程，利用函數的性質或解方程求得 Ψ_m 的值.

2.3第（3）問解法展示

解法1：已知 ∠PCF=45^° 當點 P 在直線 CD 上方時，如圖3所示.

因為 ∠PCF=45^° ，所以應構造等腰直角三角形，然后，再依據等腰直角三角形構造一線三直角全等.過點 P 作 PB⊥PC 交 AD 于點 B ，過點P 作 PN⊥y 軸于點 N ，過點 B 作 BM⊥PN 于點 M 易得 ΔPCB 是等腰直角三角形，所以 PC=PB .根據同角的余角相等，得 ∠NCP=∠BPM ，由角角邊定理得 ΔNCP?ΔMPB ，則 PN=BM，CN=PM .設點 P 的坐標為 ，則 PN=BM=t， CN= ，則 為 BM//y 軸，所以點 B 的橫坐標為 .因為點 B 在直線 上，所以點 B 的縱坐標為 由 BM=t ，可知 Ψ_t ，解得 或0（舍去）.故點

圖3

解法2：如圖4，過點 P 作 PN⊥CD 于點 N ，過 C 作CQ⊥MN 交 MN 延長線于點Q ，構造一線三直角全等圖形，得 ΔPMN?ΔNQC ，同樣可得點 P 坐標為

圖4

解法3：如圖5，過點D 作 DH⊥CP 于點 H ，構造一線三直角全等圖形，得 ΔCGH?ΔHQD 同樣可得點 P 坐標為

圖5

解法4：如圖6，過點 D 作DQ⊥CD 于點 D ，構造一線三直角全等圖形，可得 ΔCZD? ΔDPQ ，同樣可得點 P 坐標為

圖6

點評：因為題中有一個特殊角 45^° ，要讓 45^° 角發揮作用，所以需要添加水平線和豎直線，從而形成了“一線三直角全等”的幾何模型.上述展現了四種構造直角三角形的方法，分別過動點 P 作 45^° 角兩邊的垂線，過已知點 D 作 45^° 角兩邊的垂線，顯然過已知點 D 作垂線較簡單.

3解法總結

從第（3）問的四種解答方法可以看出，處理 45^° 角的基本方法為：過 45^° 角兩邊上的已知點或所求未知點作垂線，構造等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形的兩側構造一線三直角全等模型，而作垂線的方法有兩種，分別是過已知點或所求未知點作自垂線或作對邊的垂線.比較上述四種方法我們發現，過已知點作垂線比較簡單.

4題目變式或拓展

如圖7，在平面直角坐標系中，拋物線 y=ax²+bx+4（a≠ 0）經過點 ，與 Ψ_x 軸交于A，B 兩點，與 軸交于點 C ，拋物線的對稱軸是直線 x=1

圖7

（1）求拋物線的表達式.

（2）點 E 坐標為 （0，-2） ，將原拋物線沿射線CB方向平移 個單位長度，得到新拋物線 y₁ ，在拋物線 y₁ 上是否存在點 M ，滿足 ∠BEM=∠ACO？ 若存在，直接寫出點 M 的坐標；若不存在，請說明理由.

解析：（1）利用待定系數法求得拋物線的表達式為

（2）由（1）得 易得 B（4，0），C（0，4） ，所以 OB=OC=4. 又∠BOC=90^° ，所以可知 ΔBOC 是等腰直角三角形，∠CBO=45^° .將原拋物線沿射線 CB 方向平移 個單位長度，得到新拋物線 y₁ ，就是將原拋物線向下平移2個單位長度，再向右平移2個單位長度，所以

分兩種情況：

① 當點 M 在 BE 的上方時，如圖8，設 EM 交 x 軸于點N 由 E（0，-2） ，得 OE=2= OA .又 OB=OC=4 ∠AOC= ∠BOE ，所以 ΔAOC?ΔEOB （SAS），則 ∠OBE=∠ACO .因為 ∠BEM=∠ACO ，所以 ∠BEM=∠OBE ，則 EN=

圖8

BN.因為設 ON=t ，則 EN=BN=4-t .由勾股定理，得 OE²+ON²=EN² ，即 2²+t²=（4-t）² ，解得 t= ，所以點N .易得直線 EN 的解析式為 y= 3x-2，根據 ，解得 x₁=

0（舍），x2 3，故點M的坐標為

② 當點 M 在 BE 的下方時，如圖9，因為 ∠BEM= ∠ACO=∠OBE ，所以可得

OB//EM. 當 y₁=-2 時，由 解得 x₁=0（ 舍）， x₂=6 ，所以點 M 的坐標為 （6，-2） ：

綜上，點 M 的坐標為 或 （6，-2）

5教學建議

5.1強化解題步驟

在教學中，教師要給學生充足的時間讀題，去了解問題的條件、所求和圖形，明確解題方向.學生只有厘清已知條件與所求結論之間的邏輯關系才能找到解題路徑和方法.在組織解答過程中，要做到有條理、有層次，讓學生親身感受數學問題的不斷轉化過程，不斷提高學生的數感與圖感，積累解題經驗.

5.2加強思維拓展

對于學生可能出現的解題思路，教師要有預設，適時調整學生的思想方法，讓學生的思維更清晰，方法更簡潔.在一題多解的問題中，要引導學生進行有效的反思、對比和優化，使學生找到思路自然、構圖簡單的解法.如本題第（3）問有四種解法，有的簡單、有的復雜，通過比較發現，過已知點作垂線構造直角三角形，計算量與思維量相對較少.

5.3培養直觀素養

直觀想象是解答本題不可或缺的基本素養，如第（2）問通過將直線CD向上或向下平移兩個單位長度，可以直觀地發現，符合題意的點 P 只有三個，而不是4個；在解答第（3）問時，構造一線三直角全等時，通過觀察圖形中的水平、豎直線段，可以直觀地得到關鍵點的坐標.Z