基于STEAM理論的“方差與標準差\"教學

關鍵字：STEAM教育；方差與標準差；教學設計

1教學分析

1.1教材分析

本文選取浙教版義務教育課程標準實驗教科書八年級下冊第三章“3.3標準差與方差”，該節是在學生掌握了平均數、眾數、中位數等特征數后，繼續學習刻畫數據的離散程度的統計量——方差與標準差，它對學生統計觀念的形成至關重要.

1.2學情分析

學生對描述數據的集中趨勢具有初步認知，一定程度上具有對方差、標準差進行探究學習的能力.但是，從數據統計上來看，學生的知識系統不夠完善，推導、總結出方差公式上有較大難度.

1.3STEAM素養目標

科學素養（S）：利用已有數據特征數意義，構建數學模型對方差、標準差進行探索，總結得出方差、標準差公式.

技術素養（T）：利用現代化技術，繪制統計圖、統計表，直觀展示數據整體的波動情況，提高學生對現代化信息工具的使用能力.

工程素養（E）：運用工程素養，經歷方差、標準差推導的實際過程，培養學生的數據觀念、概括能力、建模意識.

藝術素養（A）：繪制折線統計圖，感受用統計圖表達數據的直觀美.加強學生數形結合的能力.

數學素養（M：以情境化問題層層遞推，引導學生逐漸將情境化問題轉化成數學問題，自然生成方差與標準差公式，領悟公式的必要性.

1.4教學的重點與難點

本節課的教學重點是理解方差與標準差的意義，感悟方差出現的必要性，并利用方差解決實際問題.教學難點是方差與標準差公式的探究發現過程，理解方

差、標準差的意義以及該特征數的實際應用[1].

2教學過程

2.1創設問題情境，激發學生思考

例題甲、乙兩名同學是校數學競賽興趣小組成員，兩人最近六次參加數學競賽模擬成績結果統計如表1所示.

表1

問題現需要挑選一名同學代表學校參加市級數學競賽，應選擇哪名同學比較合適？

學生發現甲、乙兩名同學的平均數都為91.2分，中位數、眾數都為90分，評估兩同學成績穩定性的極差也相同，此時無法作出決策.因此，需要尋找對整組數據波動情況都敏感的指標來反映數據的穩定性.

教學說明：從真實情境中提取問題“如何選擇優秀的學生參加競賽”，既能體現STEAM教育中強調真實情境的理念，又能激發學生對問題的思考.

2.2引入新知，形成概念

將甲、乙兩名同學的成績繪制成折線圖，如圖1.觀察圖象發現：所有數據都圍繞平均數上下波動.

圖1

師：我們是否能通過確定甲、乙兩名同學的成績與平均數的差之和來描述這兩組數據偏離平均數的大小，進而確定數據離散程度呢？

學生發現所有數據都圍繞平均數上下波動，所作出的均差有正有負，相加后會相互抵消，結果都是0，無法作出決策.

師：那如何避免這種抵消呢？

生1：可以利用均值的絕對值之和，但是它們均值的絕對值之和都是15.334，也無法作出判斷.

師：生1的想法很正確，利用均差的絕對值來刻畫每個數據離平均數的“距離”，進而反映數據的離散程度.但是，就此題而言，數據較為特殊，兩組數據的均值絕對值之和也相同，大家還有其他方法嗎？

生2：可以利用平方拉大均差之間的距離，放大成績的波動情況，確定甲、乙兩名同學的穩定性.計算可得甲、乙兩名同學的均差平方之和分別為48.402和50.838，說明甲同學成績離平均數的位置更近，波動較小，更加穩定，所以應選擇甲同學.

師：生2分析得很詳細，對于離平均數較遠的點，我們通過均值的平方使之“距離\"更大，利于觀察每個數據的波動情況.

追問：生2對每個數據均差取平方之和的方法是否能用于容量不同的數據？若不能，應該如何改進？請同學們完成下面習題：

在后續的兩次模擬測試中，甲同學的成績分別為89分、91分，乙同學因生病未能參加，此時，哪位同學的成績更加穩定？請大家分成四個小組進行討論[2].

生3：我們小組認為若直接利用均差的平方求和，得出甲為53.126、乙為50.838，從而判斷乙更加穩定并不客觀，因為甲比乙多參加兩次測試，數據的樣本容量不同.由此我們想到可以利用均差平方和的平均數來判斷，計算得出甲、乙的結果分別為6.641，8.473.因此，甲同學成績波動較小，成績較為穩定.

師：生3的方法是科學可行的，為了消除樣本容量不同的問題而選擇取其均差平方之和的平均數，這就是我們今天要學習的新的統計量一—方差，用 s² 來表示，其通用公式可以表示為

追問：在實際運用過程中，數據的均差平方后，數據的單位也隨之變化，如何處理可以讓它的結果和其他特征數單位保持一致呢？

生4：可以利用算術平方根使其單位與原始數據單位統一.

師：是的，將方差進行算術平方根處理成為標準差，即可將解決由于平方造成的單位不統一問題.標準差用 s 來表示，具體利用 來計算，它既能客觀地反映不同數據的波動情況，單位也與原數據統一.

教學說明：通過情境的不斷改進，一次次對話學生，強調小組合作，最終遞推出方差與標準差公式，貫徹STEAM教育中的協作性，鼓勵學生發散思維，體現“工程\"素養.結合統計圖、統計表感受數形結合的魅力與數學的圖形之\"美“.

2.3區分概念，思路更明

現有甲、丙兩名同學的成績如下，請你選擇一名同學參加競賽.

甲：96，89，88，90，90，94.

丙：86，84，84，86，85，85.

生5：甲同學的方差為8.067，而丙同學的方差為0.667，相較而言，丙同學比較穩定，應該選擇丙.

生6：我不同意，雖然丙同學的方差較小，但是他的平均成績只有85分，甲同學平均分為91.2分，明顯好于丙，還是應該選擇甲參加競賽.

師生共同歸納：在運用各類統計特征數進行抉擇時，應該優先考慮平均數的作用，若平均數相等或者非常相近，才考慮利用方差、標準差來確定該數據的穩定性，作出最優選擇.

教學說明：鞏固學生對平均數與方差意義的理解，幫助學生能夠利用數據不同特征數的分析作出正確決策，加強學生的數學素養.

3總結

本文中以STEAM理念為指導，設計了多樣化真實問題情境來解決數學問題，將藝術、工程素養融人活動過程，完善學習者的知識建構.通過問題導向、對話學生，將“為什么\"轉化成“做什么”，讓學生自己構造出描述數據離散程度的特征數，形成數統觀念，提升數據分析能力.

參考文獻：

[1]余建明.“用極差、方差、標準差估計總體離散程度”教學設計[J].中學數學教學參考，2022（1）：37-40.

[2]王華.關注概念形成激活學生思維—“方差與標準差”概念形成過程的兩次教學設計[J].中國數學教育，2014

（5） ：36-40.Z