問題導向 深度探究

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系.教師通過一個素材或一道題的深度挖掘和研究，引領學生探究其內在的本質和知識點的聯系，拓展知識的深度和廣度，不斷整合進行數學研討活動，從而達到梳理知識體系、尋找解題方法、提升關鍵能力、發展數學核心素養的目的.下面以2020年南京市一道相似中考題為例進行嘗試，通過層層變式和追問教學，達到“學一法、會一類、通一片\"的效果.

2020年南京中考第26題的第（1）問以“框圖\"形式簡潔呈現，借用箭頭對學生的思維進行引導，從中可以看出幾何的證明是從一個條件聯想到一個或者多個結論，形成知識間的聯想，最后得到兩個三角形相似的結論.本題兩個問題之間也存在著緊密聯系，其實質是對“相似三角形對應線段成比例”的逆命題進行考查，即“如果兩個三角形的對應線段的比等于任意兩邊的比，那么這兩個三角形相似”.綜合兩問，體現了由淺入深的靈巧設計，引領學生通過類比轉化的方法探究試題[1].

1教學實錄

1.1問題驅動，引領探究

活動1如圖1，在 ΔABC 中，EF//AB ，你能得出什么結論？

教學說明：本活動是復習線段成比例關系，也是突破2020年南京中考第26題證明過程中合比性質的應用.通過追問引導學生借助添加輔助線——作平行線來構建三角形相似，明確已知相似圖形可直接求比例關系也是為試題第（2）問中作平行輔助線埋下伏筆.

圖1

活動2 如圖2，在 ΔABC 和 ΔA^′B^′C^′ 中，當 AB=k，請分別在 AB，A'B'上各找一點 D，D^′ ，使得 ，點 D 和點 D^′ 應該滿足怎樣的條件？

圖2

師：（1）請用一句話來概括上述結論.（相似三角形的對應線段的比等于相似比.）（2）請你說出上述命題的逆命題.（如果兩個三角形的對應線段的比等于任意兩邊的比，那么這兩個三角形相似.）（3）該命題是真命題還是假命題？若為真命題，請證明；若為假命題，請舉例說明.生： ①CD，C^′D^′ 分別是 ΔABC 和 ΔA^′B^′C^′ 的對應高線，如圖3.

圖3

②CD ， C^′D^′ 分別是△ABC和 ΔA^′B^′C^′ 的對應角平分線，如圖4.

圖4

③CD C^′D^′ 分別是△ABC和 ΔA^′B^′C^′ 的對應中線，如圖5.

圖5

④CD ， C^′D^′ 分別是 ΔABC 和 ΔA^′B^′C^′ 的任意對應線段，如圖6.

圖6

教學說明：活動2是由兩個三角形三條邊對應成比例引導學生用已有經驗去推理說明只要存在 AB' 那么CD，C'D'就符合要求，從而可得 BC\"ABCD=k.在探究此結論的過程中運用了從“特殊到一般”的演繹推理方法.通過三個問題的追問，引導學生生成三種比例關系— CD=k.然而第（1）（2）兩種關系中都有 作相等比例的過渡，可以歸納為一種，這樣就剩下（3）中的比例關系，此時呈現南京市2020年中考題第26題，并引導學生自主完成問題（1）.

1.2剖析中考，優化解法

活動3（2020南京中考 ?26） 如圖7，在△ABC和 ΔA^′B^′C 中 D，D^′ 分別是 AB A^′B^′ 上一點，

（1）當 時，求證： ΔABC～ΔA^′B^′C^′ ：

圖7

證明的途徑可以用下面的框圖（如圖8）表示，請填寫其中的空格.

圖8

（2） 當 時，判斷 ΔABC 與ΔA^′B^′C^′ 是否相似，并說明理由.師：本題第（2）問采用以下幾個問題來攻破.（i）為什么需要作平行線，可以作誰的平行線？（ii）如何證明 （iii）你還能提出哪些方法？說明：對于問題（i），可以按圖9的方式添加輔助線.

圖9

教學說明：根據之前獲得的經驗和方法，嘗試解決中考試題.擬突破相似形教學的以下重點和難點.① 兩個圖，條件分散； ② 分散圖形的邊、角缺少關聯，難集中，主要通過三邊對應成比例證相似； ③ 通過比例轉換（等量代換）證比例相等； ④ 構造相似圖形.

師：如圖10，在△ABC中， .AD 是∠ACB 的平分線，求證：BC （盡可能用多種方法證明）生： ① 造平行，得等腰，得相似，如圖11.

圖10

② 造相似：△ABP∽△ACD， ∠2=∠1=∠P ，如圖12.

③ 造垂直，得雙相似，如圖13.

④ 面積法：同底等高，不同底等高，如圖14.

圖11

圖12

圖13

圖14

1.3滲透素養，深度思考

問題1如圖 ^15，D，E 分別是 ΔABC 的邊 AB，AC 上一點，連接 CD，BE，CD 與 BE 交于點F ，連接 AF 并延長，分別交 DE ，BC于點 H，G

圖15

（1）若 DE//BC ，求證： G 是BC 的中點；

（2）若 G 是 BC 的中點，求證： DE//BC

問題2（1）如圖16，在 ΔABC 和 ΔA^′B^′C^′中， D，D^′ 分別是 ABA^′B^′ 上一點， 1（1）當 中

圖16

∠B=∠B^′ 時，判斷 ΔABC 與 ΔA^′B^′C^′ 是否相似，并說明理由.

（2）如圖17，在ΔABC 和 ΔA^′B^′C^′ 中，D，D^′ 分別是 AB，A^′B^′ 延長線上一點， 中 ：1

圖17

時，判斷 ΔABC 與 ΔA^′B^′C^′ 是否相似，并說明理由.

教學說明：為了強化思維和解題方法，設計了兩個問題.問題1第（1）問體現一題多解，多解歸一，第（2）問是為了進一步強化相似的應用；問題2則是對原題的變式，由原來的三條邊成比例變成兩邊成比例及一組對應角相等，或者是將點 D 和 D^′ 的位置轉移到邊的延長線上，以期培養學生的發散思維能力.

1.4課堂小結

本節課的重點是怎樣解相似三角形綜合題，由此引導學生對相似本質的再認識；方法是引導學生作平行線，構造相似的基本圖形“A”型圖和“X\"型圖，構造和證明兩三角形相似等；通過“一題一課”教學方式，培養學生思維能力，高效解決問題.

2教學反思

2.1“一題一課”，能有效串聯所學知識、深化解題通法

好的復習課可以有效鞏固學生所學的知識，加深對知識概念的理解，從而形成完整的知識結構，將所學的知識更加具體、生動地呈現給學生.

首先，目前在復習課上有一種不好的傾向，那就是用課本上的一個概念或原理作為課堂導人.本節課以一題一課的方式作為復習支點和學習起點，明確相似原理和應用的結構特點，整理出正確的比例結構.其次，以典型性和重點題型為導入的開場白，起點低，容易激發學生關注基礎知識和基本技能，選擇的材料又面向全體學生，學生易于接受[2].最后，復習的出發點是呈現問題解決的內容，讓學生分析思維過程，探索方法，從而避免學生在復習原理時感到枯燥和抽象產生的心理抗拒.

2.2“一題一課”，能強化思維訓練，提升學科核心素養

初中三年級的復習課既要考慮到學生鞏固新學知識的特點，又要滿足他們所面臨的選擇性要求.首先，通過提問和活動為學生自主學習創設問題情境，通過糾錯活動引導學生在實踐、思考、探索和交流中厘清自己的知識結構.其次，通過反思和糾正各種問題的解決方案，加強他們的基礎知識和技能，激發學生學以致用.最后，從學生熟悉的教材入手，通過題型的變化，為學生探索題型的本質特征搭建橋梁，從而達到培養學生核心素養的目的[3].

總之，“授之以魚，不如授之以漁.”數學復習課的目的是讓學生從現象中看到本質，在解決問題后獲得全面的理解，促進從基礎知識到基本經驗的過渡，獲得基本的數學思維方法.教師應從大量的問題中選擇具有代表性的問題，以“一題一課”的形式呈現，讓學生將問題聯系起來，達到最優化效果.

參考文獻：

[1徐偉建，李云萍.基于一道中考壓軸題的“一課一題”教學微設計與思考[J].中國數學教育，2020（23）：49-55.

[2王海青，吳有昌.基于數學單元的整體教學探索與實踐：問題驅動的視角[J].數學通報，2022（3）：27-32，46.

[3]滕好波.開展“一題一課”提升復習質量——以一道中考壓軸題為例[J].中學數學教學參考，2023（18）：31-33.Z