幾何與函數(shù)圖象結(jié)合的綜合應(yīng)用問題探究

在中考數(shù)學試題中，幾何與函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用問題逐漸成為考查學生綜合思維能力和數(shù)學素養(yǎng)的重要載體.此類問題以圖象為媒介，融合幾何性質(zhì)與函數(shù)變化規(guī)律，要求學生在理解圖象特征的基礎(chǔ)上，靈活運用幾何知識進行推理與運算，體現(xiàn)出題目設(shè)計的開放性與探究性.該類試題不僅考查學生對函數(shù)性質(zhì)、圖象特征及幾何關(guān)系的理解程度，更注重分析能力、空間想象力及解決實際問題的能力.

1動點問題

有關(guān)動點問題的函數(shù)題型，首先需要厘清是哪種動點移動問題，是單動點還是雙動點問題.在動點問題中，由于動點位置改變，需要學生能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，并能判斷出自變量與因變量，根據(jù)變量的變化特點準確地畫出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象理解函數(shù)的性質(zhì)；能利用函數(shù)的圖象及其性質(zhì)解決簡單的實際問題.

點評：本題通過動點 E 在菱形邊上的運動，引發(fā)面積隨位置變化的函數(shù)關(guān)系建模，體現(xiàn)了幾何與函數(shù)圖象的深度融合.學生需具備分段建模與圖象特征判斷能力，靈活運用勾股關(guān)系、面積計算公式及函數(shù)解析表達.題目巧妙融合函數(shù)性質(zhì)與空間圖形特征，是對數(shù)學建模意識與綜合分析能力的雙重考驗.

2線動問題

關(guān)于線動問題的函數(shù)圖象題，根據(jù)幾何圖形的線動對圖象及其數(shù)量關(guān)系進行一定的分析，抓住圖象中的轉(zhuǎn)折點及拐點，這些拐點處往往是運動狀態(tài)發(fā)生改變或者相互的數(shù)量關(guān)系發(fā)生改變的地方.該類題型一般以選擇題的形式出現(xiàn)，具有一定的難度，需要學生綜合運用幾何與函數(shù)的相關(guān)知識.

例2 （2025年江蘇南京模擬）如圖5，在矩形ABCD 中， CD=5，E 是 BC 邊上一個動點，連接 AE .過點 E 作 EF⊥AE 交 CD 于點 F .設(shè) BE=x，CF=y 點 E 從點 B 運動到點 C 的過程中 關(guān)于 x 的函數(shù)圖象如圖6所示，則該函數(shù)圖象的頂點 P 的縱坐標 n 的值為（ ）.

圖5

圖6

解析：本題考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，證明 ΔAEB^° ΔEFC 是解答的關(guān)鍵.先由矩形性質(zhì)得到 AB=CD= 5，∠B=∠ECF=90^° ，進而證得 ∠AEB=∠CFE ，證明 ΔAEB～ΔEFC ，得到 ，即y=5 ，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

解：由圖象知 BC=4 ，則 CE=BC-BE=4-x由 EF⊥AE ，得 ∠AEF=90^° ，則 ∠AEB+∠CEF=90^° .由四邊形 ABCD 是矩形，得 AB=CD=5，∠B=∠ECF=90^° ，則 ∠CEF+∠CFE=90^° ，即 ∠AEB= （204號∠CFE ，所以 ΔAEB～ΔEFC ，則可得 CF，即

，整理得

，則點P的坐標為（ 所以 1

故選：B.

點評：該題以線段 EF 隨點 E 的移動而變化，引出關(guān)于 CF 與 BE 的函數(shù)圖象問題，要求學生在幾何推理的基礎(chǔ)上建立代數(shù)表達式，并結(jié)合圖象對函數(shù)性質(zhì)進行準確判斷.題中函數(shù)圖象的頂點成為解題的關(guān)鍵，反映出幾何運動過程與函數(shù)圖象變化間的數(shù)量關(guān)系，充分體現(xiàn)“幾何一函數(shù)—圖象”三位一體的綜合能力要求.

3函數(shù)圖象判斷

對于用圖象描述分段函數(shù)的實際問題，要抓住以下幾點：（1）自變量變化而函數(shù)值不變化的圖象用水平線段表示；（2）自變量不變化而函數(shù)值變化的圖象用鉛垂線段表示；（3）自變量變化函數(shù)值也變化的增減變化情況；（4）函數(shù)圖象的最低點和最高點.

例3（2025年安徽合肥模擬）如圖7，在矩形ABCD中，點 E 從點 A 出發(fā)，沿著折線AB—BC— CD 以1個單位長度/s的速度勻速運動，設(shè)△ADE的面積為 s ，點 E 的運動時間為 Ψ_t ，則在點 E 的運動過程中，S關(guān)于 Φ_t 的函數(shù)圖象可能是（ ）.

圖7

解析：本題主要考查幾何圖形面積與函數(shù)圖象的結(jié)合，理解幾何圖形面積的變化情況，掌握函數(shù)圖象的增減性是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意，分點 E 位于邊 AB 上、點 E 位于邊 BC 上和點 E 位于邊 CD 上進行分類討論.根據(jù)幾何圖形面積的變化情況確定函數(shù)圖形的增減性即可求解.

解：由題意得，當點 E 位于邊 ?AB 上時， S_ΔADE 的面積隨著點 E 的運動勻速增加；當點 E 位于邊 BC 上時， ΔADE 的高保持不變，所以 S_ΔADE 的值保持不變；當點 E 位于 CD 上時， S_ΔADE 的面積隨著點 E 的運動勻速減小.

故選：B.

點評：本題通過點 E 沿折線路徑的勻速運動，引發(fā)三角形面積關(guān)于時間的變化圖象，考查學生對分段函數(shù)變化規(guī)律的理解與圖象分析能力.面積變化的階段性與圖象拐點的對應(yīng)關(guān)系要求學生具備良好的函數(shù)圖象直觀判斷力.

4解法總結(jié)

解題過程中，首先，需明確動點或動線的運動路徑，判斷變量間的對應(yīng)關(guān)系，確定自變量和因變量的實際意義.其次，通過幾何模型的建立，利用相似、垂直、面積等幾何性質(zhì)，結(jié)合勾股定理、三角函數(shù)等知識，推導出函數(shù)的解析表達式.最后，分析函數(shù)圖象的變化特征，尤其要注意函數(shù)的分段性、對稱性、單調(diào)性及拐點位置，從而準確判斷對應(yīng)圖象或求解關(guān)鍵參數(shù).典型題型包括點動引發(fā)的面積函數(shù)、線動產(chǎn)生的幾何量變化函數(shù)，以及函數(shù)圖象的選擇與判斷等.解法強調(diào)“圖形一數(shù)量一圖象”的有機轉(zhuǎn)化與深度融合，既考查學生的幾何直觀和邏輯推理能力，又錘煉函數(shù)建模和圖象分析水平，是學生綜合素養(yǎng)的集中體現(xiàn).Z