探究中考最短距離問題：將軍飲馬模型

新的課程標準提出了要在課堂教學中不斷提高學生的數學素養.數學素養的落實往往以解決數學問題為出發點，數學中最值問題又是此類問題關注的焦點.學生在解決此類問題的過程中往往會遇到各種困難，需要不斷地將問題轉化，轉化為自己熟悉的問題，利用最基本的數學原理來解決，這對于學生的能力要求較高[1-2].

1真題再現

（2021年武漢中考試題）如圖1（1），在 ΔABC 中，AB=AC ∠BAC=90^° ，邊 AB 上的點 D 從頂點 A 出發，向頂點 B 運動，同時，邊 BC 上的點 E 從頂點 B 出發，向頂點 c 運動， D，E 兩點運動速度的大小相等，設 x=AD y=AE+CD，y 關于 x 的函數圖象如圖1（2），圖象過點（0，2），則圖象最低點的橫坐標是

圖1

2解法探究

教師讓學生先思考一下這個題怎么求解.片刻后，學生A率先給出了他的解法：

生A的解法：由圖1（2）可得 AC=AB=1

如圖2所示，過點 B 作BF ⊥ BC ，使得 BF=AC ，則 A，E，F 三 點共線時 y=AE+CD 的值最小.

由題意可得 AD=BE=x ，∠CAD=∠FBE=90^°. ，所以有ΔADC?ΔBEF ，所以 DC=EF ，所以 y=AE+CD=AE+EF?

圖2

AF ，所以 的最小值為 AF .如圖3，過點 A 作 AG⊥ BC于點 G ，過點 F 作 FH//BC ，交 AG 延長線于點H .由上面的條件可得四邊形BFHG是矩形，所以 因為 ΔAEG～ΔAFH 所以 則 即 從而 BE=x=BG-

圖3

點評：本題是在將軍飲馬幾何模型基礎上展開的探究，學生要將問題不斷地轉化，通過圖形的旋轉等變化，將不同的線段構造在同一條直線上，從而利用兩點之間線段最短獲得求解.

在上述方法的引導下，生B直接從題目人手去解決：

生B的解法：由解法1可得 y=AE+CD= .但是下面我不知道怎么處理了.

師：那么現在問題轉化為當 x 為何值時， y 取得最小值.若將 變形為 ，這樣的形式大家能想到什么？

生：想到兩點之間的距離公式.

生B：哦，我知道了，這可以看作求兩段線段的和的最小值，即 MN+NP

生B：如圖4，點 M 和點 P 就是兩座城堡，問題就為在 軸這條河上找一點到 M，P 兩點距離和最短.設 P 關于 y 軸的對稱點為 P^′ ，連接 MP^′ ，交 軸于點N 即滿足 MN+NP 最短.

圖4

現在計算ON的長度.過點 M 作MQ ⊥x 軸于點Q.由三角形相似可得 （204號 則 ，解得

師：大家在理解該模型的基礎上進行了不斷的思考，生A的解法得到了提升改進.還有其他做法嗎？

生C給出了他的解法，他直接利用已有知識進行了構造.

生C的解法：如圖5，令 TS⊥SK ， 設 SJ=x ，則可得到 所

圖5

以當 T，J，R 三點共線時， y 取得最小值，由三角形相似可得 ，即 （20 ，解得

新課標明確要求，教師要在課堂中不斷啟發學生，多角度思考問題，讓學生不斷地參與問題的討論，從而不斷激發學生學習的興趣和內在動力.這樣的課堂才是新課標需要的課堂.對于本題，師生之間的討論充分彰顯了新課標的教學理念.

3考題鏈接

試題鏈接1（2023年甘肅省中考試題）如圖6，拋物線 y=-x²+bx 與 x 軸交于點 A ，與直線 y=-x 交于點 B（4，-4） ，點 C（0，-4） 在 軸上.點 P 從點 B 出發，沿線段BO方向勻速運動，運動到點 O 時停止.

圖6

圖7

（1）求拋物線 y=-x²+bx 的表達式；

（2）當 時，請在圖6中過點 P 作 PD⊥ OA交拋物線于點 D ，連接 PC，OD ，判斷四邊形OCPD的形狀，并說明理由.

（3）如圖7，點 P 從點 B 開始運動時，點 Q 從點 O 同時出發，以與點 P 相同的速度沿 x 軸正方向勻速運動，點 P 停止運動時點 Q 也停止運動.連接 BQ，PC .求 CP+BQ 的最小值.

解析： （1）y=-x²+3x .過程略.

（2）略.

（3）由題意得 BP=OQ ，連接

BC，如圖8所示. 在 OA 上方作 ΔOMQ ，使得

∠MOQ=45^° BC=OM ： ： OC=BC=4，BC⊥OC， ·.∠CBP=45^° ·∠CBP=∠MOQ ： BP=OQ ， ∠CBP=

∠MOQ，BC=OM， ： ?ΔCBP?ΔMOQ（SAS） ： CP=MQ ： CP+BQ=MQ+BQ≥MB （當 M，Q，B 三點

共線時最短）. ： CP+BQ 的最小值為 MB ： ?∠MOB=∠MOQ+∠BOQ=45^°+45^°=90^°， （204號 故 CP+BQ 的最小值為

圖8

試題鏈接2（2025年甘肅省中考試題）如圖9，拋物線 y= 分別與x 軸， 軸交于 A，B（0，-4） 兩點， M 為 OA 的中點.

圖9

（1）求拋物線的表達式；

（2）連接 AB ，過點 M 作 OA 的垂線，交 AB 于點C ，交拋物線于點 D ，連接 BD ，求 ΔBCD 的面積；

（3）點 E 為線段 AB 上一動點（點 A 除外），將線段 OE 繞點 O 順時針旋轉 90^° 得到 OF ：

① 當 時，請在圖10中畫出線段 OF 后，求點 F 的坐標，并判斷點 F 是否在拋物線上，說明理由；

圖10

圖11

② 如圖11，點 P 是第四象限的一動點， ∠OPA= 90^° ，連接 PF ，當點 E 運動時，求 PF 的最小值.

具體解析略，可掃碼查看.

數學問題求解中，最值問題對于學生的數學推理能力、數學建模能力要求較高，同時最值問題也是全國各省市中考命題的方向，如何利用已經學過的平移、旋轉、對稱等基本知識，通過類比、遷移將兩條線段構造在同一條直線上是這類問題的難點.在實際教學中，教師應該從不同的角度引導學生去探究、思考問題，讓學生體會到知識之間的聯系及應用，從而充分挖掘學生解決問題的潛質，提高他們的問題意識、方法意識，讓數學核心素養落地生根.

參考文獻：

[1]姚廣娜.一道中考題的解法探究與變式拓展[J].初中數學教與學，2022（3）：12-14.

[2]趙中考.透過現象看本質：探究中考最短距離問題[J].中學數學，2024（10）：97-98.Z