一般觀(guān)念引領(lǐng)下的“切線(xiàn)長(zhǎng)定理\"教學(xué)實(shí)踐

所謂一般觀(guān)念，是對(duì)內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的進(jìn)一步提煉和概括[1].在此觀(guān)念的影響下，教師應(yīng)改變以理解和記憶為主的淺層學(xué)習(xí)方式，著重引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、去交流、去抽象、去感悟，以此引發(fā)深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，發(fā)展學(xué)生的理性思維，提升教學(xué)質(zhì)量.筆者以“切線(xiàn)長(zhǎng)定理\"為例，基于“一般觀(guān)念\"的引領(lǐng)進(jìn)行知識(shí)的建構(gòu)，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的同時(shí)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1問(wèn)題解決，初涉新知

問(wèn)題1直線(xiàn)與圓具有怎樣的位置關(guān)系？在圓外任意找一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，可以得到幾條切線(xiàn)？

師生活動(dòng)：結(jié)合已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生給出圓與直線(xiàn)有三種位置關(guān)系，即相切、相交、相離.為了探索過(guò)圓外一點(diǎn)可以作幾條切線(xiàn)，教師引導(dǎo)學(xué)生利用尺規(guī)作圖，得到圖1.

圖1

教學(xué)說(shuō)明：從學(xué)生已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)動(dòng)手操作激發(fā)學(xué)生的探究熱情.在此過(guò)程中，教師可以啟發(fā)學(xué)生思考“為什么只能得到兩條切線(xiàn)？”由此引導(dǎo)學(xué)生深度思考，讓學(xué)生感知圓的軸對(duì)稱(chēng)性，從而為后續(xù)探究活動(dòng)的開(kāi)展奠基.

2自主探究，獲得新知

問(wèn)題2觀(guān)察圖1，說(shuō)說(shuō)你有什么發(fā)現(xiàn).

生1：通過(guò)觀(guān)察猜想 PA=PB 師：你們能用不同的方法來(lái)證明這一猜想嗎？

生2：通過(guò)“折一折\"發(fā)現(xiàn)兩條邊剛好重合，由此可以說(shuō)明猜想成立.

師：觀(guān)察和實(shí)驗(yàn)存在一定的誤差，能否進(jìn)一步證明呢？

圖2

生3：連接 OP，OA，OB ，如圖2，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可知，OA⊥PA，OB⊥PB. 又 OA= OB ，OP=OP ，所以 ΔOAP? ΔOBP ，故 PA=PB

師：對(duì)于這一發(fā)現(xiàn)，你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以表征嗎？

學(xué)生結(jié)合以上發(fā)現(xiàn)進(jìn)行歸納總結(jié)，教師及時(shí)指導(dǎo)和完善，從而得到切線(xiàn)長(zhǎng)定理.

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)設(shè)計(jì)“畫(huà)一畫(huà)”“折一折”“證一證”三個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察、猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、歸納等過(guò)程，由此得到切線(xiàn)長(zhǎng)定理，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).在此過(guò)程中，教師著重引導(dǎo)學(xué)生去體驗(yàn)、去感悟、去抽象，以此培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生充分體驗(yàn)探究的樂(lè)趣，從而促進(jìn)學(xué)生探究能力的發(fā)展.

問(wèn)題3觀(guān)察圖2，你還有怎樣的發(fā)現(xiàn)？如圖3，若連接AB ，你還有什么發(fā)現(xiàn)？

圖3

學(xué)生結(jié)合已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn) ∠AOB 與 ∠APB 互補(bǔ)，AB⊥OP .學(xué)生得到以上結(jié)論后，教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單證明，以此加深對(duì)圖形性質(zhì)的理解.

教學(xué)說(shuō)明：創(chuàng)設(shè)開(kāi)放性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察、猜想、證明，繼續(xù)探究圖形的性質(zhì)，為性質(zhì)的應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).同時(shí)，通過(guò)多角度、全方位探究，學(xué)生利用圖形的對(duì)稱(chēng)性，更好地體會(huì)圖形要素之間的關(guān)系，有利于知識(shí)的整體建構(gòu).

3創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，應(yīng)用新知

問(wèn)題4如圖4，已知 AC，BC 分別與圓 o 相切于 A，B 兩點(diǎn).已知∠ACB=80^° OC=100cm ，求點(diǎn) c 到圓 O 的切線(xiàn)長(zhǎng).（cos 40^°≈0.77 ，結(jié)果精確到 1cm .）

圖4

題目給出后，學(xué)生獨(dú)立求解，然后交流展示.

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)本題的解題思路？

生4：連接 OA，OB .因?yàn)?AC，BC 分別與圓 O 相切于 A，B 兩點(diǎn)，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)的定理可知 AC=BC 根據(jù)已知條件易證 ΔOAC?ΔOBC ，所以 ∠ACO= .在 RtΔOAC 中， ∠OAC= 90^° ，可知 ，所以 AC=OC×cos40^°= 100×cos40^°≈77（cm）

教學(xué)說(shuō)明：從學(xué)生已有認(rèn)識(shí)水平出發(fā)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)基礎(chǔ)問(wèn)題幫助學(xué)生進(jìn)一步熟悉切線(xiàn)長(zhǎng)定理的應(yīng)用，充分體驗(yàn)圖形中的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，強(qiáng)化對(duì)新知的理解，促進(jìn)學(xué)生解題能力的提升.

問(wèn)題5已知 MA，NB 與圓O 相切于 A，B 兩點(diǎn)，延長(zhǎng) MA ，NB 交于點(diǎn) P ，如圖5所示.已知∠APB=60^° AP=24cm ，求 A ，B 兩點(diǎn)的距離及弧 AB 的長(zhǎng).

圖5

結(jié)合問(wèn)題與的解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很快找到了解題思路：連接 OA，OB，OP，AB ，根據(jù)已知條件易證 ΔABP 為等邊三角形，所以 AB= AP=24cm 又 OP 平分 ∠APB ，所以 ∠OPA=30^° 則 .易知 ∠AOB= 180^°-60^°=120^° ，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可求弧 AB 的長(zhǎng).

教學(xué)中，教師在學(xué)生簡(jiǎn)述解答過(guò)程后，預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生完善解題過(guò)程，以此規(guī)范解答過(guò)程.在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一般需要添加哪些輔助線(xiàn)，歸納解決問(wèn)題的一般過(guò)程.

教學(xué)說(shuō)明：解題后，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)添加輔助線(xiàn)的方法，以此讓學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)圖形新知的理解，從而為證明線(xiàn)段相等、角相等、垂直關(guān)系等內(nèi)容提供方法.

4課堂小練，強(qiáng)化新知

問(wèn)題6如圖6，過(guò)圓 o 外一點(diǎn) P 作圓 o 的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為 A，B ，點(diǎn) c 為弧 AB 上一點(diǎn)， DE 所在直線(xiàn)為圓 o 的切線(xiàn)，且與 ?O 相切角于點(diǎn) c ，與 PA，PB 交于 _D，E 兩點(diǎn).已知

圖6

PA=7，∠P=40^° （1）求 ΔPDE 的周長(zhǎng)；

（2）連接 _OD，OE ，求 ∠DOE 的值.

學(xué)生獨(dú)立思考，教師呈現(xiàn)學(xué)生解題過(guò)程，師：對(duì)于第（1）題，你想如何求解？

生5：根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理可知 AD=CD，CE=BE 0ΔPDE 的周長(zhǎng) =PD+CD+CE+PE=PD+DA+ PE+EB=PA+PB=14

師：非常好，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，根據(jù)線(xiàn)段相等，順利地解決了問(wèn)題.第（2）問(wèn)如何求解呢？

生6：結(jié)合以上探究結(jié)果，易證 ΔODA?ΔODC .所以 ∠DOA=∠DOC 同理 ∠COE=∠BOE ，所以 又易得 ∠AOB=140^° ，所以∠DOE=70^°

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)課堂練習(xí)檢測(cè)學(xué)生對(duì)新知的掌握情況，提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，強(qiáng)化對(duì)新知的理解，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

5課堂小結(jié)，內(nèi)化新知

問(wèn)題7本節(jié)課重點(diǎn)研究了切線(xiàn)長(zhǎng)定理，我們是怎樣發(fā)現(xiàn)切線(xiàn)長(zhǎng)定理的？又是怎樣研究切線(xiàn)長(zhǎng)定理的？應(yīng)用切線(xiàn)長(zhǎng)定理可以解決哪些問(wèn)題？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考后，教師提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生表達(dá)自己的所想、所思，最后教師對(duì)所學(xué)的交流結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)，給出如圖7所示的知識(shí)框架圖.

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、思想、方法、經(jīng)驗(yàn)等方面進(jìn)行歸納總結(jié)，并建構(gòu)知識(shí)框架圖，逐步完善個(gè)體知識(shí)結(jié)構(gòu)，發(fā)層高階思維，提高遷移應(yīng)用能力.

基于“一般觀(guān)念\"引領(lǐng)的課堂教學(xué)要打破傳統(tǒng)的單一講授的教學(xué)模式，著重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察、比較、分析、交流、抽象等思維過(guò)程，化被動(dòng)接受為主動(dòng)探究，充分調(diào)動(dòng)主觀(guān)能動(dòng)性，發(fā)展高階思維[2].同時(shí)，在課堂教學(xué)中，教師要始終堅(jiān)持以學(xué)生為中心，合理創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下主動(dòng)探索、主動(dòng)建構(gòu)，通過(guò)經(jīng)歷知識(shí)形成過(guò)程，厘清問(wèn)題的來(lái)龍去脈，發(fā)展有序思維，提升綜合素養(yǎng).

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師作為課堂教學(xué)的組織者，要認(rèn)真研究課堂教學(xué)內(nèi)容，合理設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，讓學(xué)生主動(dòng)參與課堂活動(dòng)，從而將學(xué)生培養(yǎng)成會(huì)觀(guān)察、會(huì)思考、會(huì)分析、會(huì)解決問(wèn)題的人.

參考文獻(xiàn)：

[1]黃暉明.數(shù)學(xué)思維進(jìn)階課堂的內(nèi)涵、特征及教學(xué)實(shí)現(xiàn)[J].理科考試研究，2024（17）：2-6.

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項(xiàng)式\"教學(xué)路徑研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2024（7）37-41.Z