探索定理教學，提升核心素養

三角形作為一種基本的幾何圖形是認識其他圖形的基礎，初中階段的圖形與幾何領域包括“圖形的性質”“圖形的變化”“圖形的坐標”三個主題.其中“圖形的性質\"強調通過實驗探究、直觀發現、推理論證來研究圖形，在用幾何直觀理解幾何基本事實的基礎上，從基本事實出發推導圖形的幾何性質和定理.三角形內角和定理作為平面幾何中最重要的定理之一，從角的角度刻畫了三角形的特征，它是在學習了直線、射線、線段以及相交線與平行線的基礎上，對三角形的第一次深入研究，為后面多邊形內角和、外角和、特殊的平行四邊形以及圓等知識的學習打下了良好的基礎，具有承上啟下的作用.

“三角形內角和定理\"是人教版八年級上冊第十一章第二節第1課時的內容.根據小學的經驗，學生只知道三角形的內角和等于 180^° ，對于為何是 180^° 的認知局限在操作的層面，不知道研究的方法，沒有經歷推理證明，缺少能勝任研究、發現的內在素質.對三角形內角和的探索過程，將借助平行線的性質來證明，其中輔助線的添加對學生來說是難點，學生需要通過各種嘗試確定輔助線的畫法.筆者在“三角形內角和定理\"的證明教學中，引導學生經歷從具體到抽象、從合情推理到演繹推理的過程，從感性認識上升到理性理解，啟發學生分析圖形變化的內在聯系，培養學生的核心素養.

1教學實踐

1.1知識梳理，實驗探究

問題1通過前面的學習，我們初步學習了三角形的有關概念，三角形有哪些基本要素？

生：三個頂點、三條邊、三個角.

問題2三角形的三條邊之間有什么關系？

生：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

問題3三角形的三個內角之間有什么關系？

生：三角形的內角和等于 180^° 教師活動：通過幾何畫板的操作演示，學生能夠直觀感受到隨著三角形形狀的改變，三角形內角和始終保持 180^° 不變.

教學分析：通過聯系之前所學，引導學生從自己的最近發展區出發，連成知識鏈，加深對知識的理解；通過幾何畫板，將學習內容可視化，促使學生直觀感受三角形內角和定理，引導學生把注意力聚焦到本課的學習中.

追問1：如圖1，如何用數學符號語言表示三角形的內角和？

生：在△ABC中， ∠A+∠B+ ∠C=180^°

圖1

追問2：小學階段，有哪些方法可以驗證“三角形的內角和是 180^°，′ 這個結論？

生：用量角器量出3個角之和為 180^° ，或者把3 個角撕下來拼成平角.

學生活動：下面請同學們分小組合作探究，動手操作驗證這個結論，匯報結果.

預設1：如圖2，將 ∠B 和 ∠C 拼到 ∠A 兩側預設2：如圖3，將 ∠B 和 ∠C 拼到 ∠A 同側預設3：如圖4，將 ∠C 拼到 ∠A 右側

圖2

圖3

圖4

追問3：對照所拼的角，請說出你是怎么驗證的？

生1：圖2中，把 ∠B 和 ∠C 拼到 ∠A 的兩側，然后用量角器測量出 180^° ：

生2：圖3中，把 ∠B 和 ∠C 拼在 ∠A 的同側，恰好和直尺貼合形成平角，平角為 180^° ：

生3：圖4中，把 ∠C 拼在 ∠A 的右側， ∠A+∠C 恰好與 ∠B 形成同旁內角，經過測量得出 180^° ：

追問4：各小組測量的都恰好是 180^° 嗎？通過拼角操作得出的這個結論是否準確？

生1：我用量角器測量的時候結果接近 180^° 生2：我是看到角與直尺貼合，判斷出 180^° 的.

教師點撥：通過量角器測量或貼合直尺說明拼成平角的方法，都存在誤差.此外通過對手中有限個三角形的驗證，不具有代表性.無法完成對形狀不同的所有的三角形進行驗證，所以通過這種方法得出的結論不能完全讓人信服.

教學分析：學生通過合作拼角的實踐操作，發現操作的局限性.理解視覺誤差、度量誤差、實驗有限性和三角形個數無限的矛盾對結論的影響，明白實驗方法的不足，感受證明的必要性，在合作中培養學生嚴謹的科學態度.

1.2推理論證，證明猜想

問題4如何得到讓人信服的方法？

生：如果能通過證明得出結論會更讓人信服.

教師點撥：一個數學命題是否正確，需要經過理由充分、使人信服的推理論證，才能得出結論.通過實驗雖然能發現數學公式、定理，但確認公式、定理的正確性需要通過推理論證，實驗和證明二者相互結合，才能完成數學定理的發現.

追問1：如何證明一個命題的正確性？請回憶證明一個命題的步驟.

生：證明一個命題分為3步.

① 根據命題畫出對應圖形；

② 分析命題的題設和結論，寫出已知和求證，把文字語言轉化為幾何語言；

③ 分析、探究證明方法.

下面證明三角形內角和定理.

已知： ΔABC ，如圖5.

求證： ∠A+∠B+∠C=180^°

圖5

教師點撥：在同學們的拼角驗證方法中，除了把3個角拼在一起的方法，還有將2個角撕下來拼在另一個角兩側的方法，相當于形成了兩組內錯角，如果只撕1個角此時相當于整體形成了同旁內角.

教學分析：通過將拼角驗證的結果與內錯角、同旁內角等知識相聯系，促發學生的知識遷移，啟發學生從動手操作驗證的感性認識中尋找到與此相關的數學依據，學會用數學的思維思考問題，為后面借助平行線解決內角和問題做好鋪墊.

問題5我們知道當兩條直線平行時，同位角、內錯角、同旁內角存在確定的數量關系，那能否通過構造平形線來探究三角形的三個內角的數量關系呢？

生：可以構造平行線來解決.

教學分析：多角度定量研究三角形內角和，引導學生想到通過構造平行線來完成證明.通過添加輔助線構造幾何模型，是解決幾何問題的重要方法，以此培養學生直觀想象素養，提升學生數形結合數學思想方法的應用能力.

追問1：你能根據剛才拼角的過程，嘗試添加輔助線來完成證明嗎？

生1：過三角形一個頂點作平行線，如圖5，過點A 作 DE//BC .證明過程如下.

證明：如圖6，過點 A 作直線DE ，使 DE//BC ： DE//BC ，∴ ∠B=∠DAB ， ∠C= ∠CAE （兩直線平行，內錯角相等）.

圖6

： ∠DAB+∠BAC+∠CAE=180^°（ （平角定義），： .∠BAC+∠B+∠C=180^°（ 等量代換）.

教學分析：證明猜想成立，得出三角形內角和定理，通過嚴謹的推理論證步驟，規范學生的數學符號語言表達及書寫，體會從猜想到證明的嚴謹過程.

追問2：你還有其他作輔助線的方法嗎？

生2：如圖7所示，可以延長BA至點 E ，過點 A 作 AF//BC

圖7

圖8

圖9

生3：如圖8，可以過點 A 作 AF//BC

生4：如圖9，還可以在 _AB 上任取一點 D ，連接CD ，過點 A 作 EF//CD ，過點 B 作 GH//CD

教師點撥：在平面幾何中，輔助線通常畫成虛線.

教學分析：不管添加什么位置的輔助線，其目的都是將這些角“湊”到一起.通過添加輔助線，將學生熟悉的幾何實驗轉化為幾何推導，引領學生經歷數學推理與證明的過程，提升學生的理性思維，發展學生的核心素養.

師生活動：學生獨立思考，通過添加輔助線，獲得證明思路；教師指導學生嚴謹證明，利用平行線的性質和平角的定義完成三角形內角和定理的證明，

師：三角形的內角和定理最早是由古希臘哲學家泰勒斯在公元前6世紀通過拼圖發現的，公元前5世紀的古希臘數學家畢達哥拉斯、公元前3世紀的歐幾里得和18世紀法國數學家克萊羅再分別用以上三種方法證明了三角形內角和定理.

教學分析：通過添加輔助線，獲得證明思路，感悟輔助線在證明中的作用，而后以HPM視角開展教學，通過附加數學史教學方式將數學史融入三角形內角和定理學習中，呈現知識形成的自然過程，揭示數學的文化價值，反映數學的人文精神和數學家的“理性精神”，激發學生的學習動機，提升學生的核心素養，落實立德樹人根本任務.

1.3拓展方法，深化思維

問題6除以上方法，你還有其他方法可以證明三角形的內角和是 180^° 嗎？

生：應該有，但我沒有想到.

教師點撥：上面的方法都是過頂點作三邊的平行線，還可以考慮在三角形的任意一邊任取一點 P （如圖10（1）），過點 P 分別作 AB，BC 的平行線，把三個內角轉換為一個平角，進而證明結論.

圖10

追問：除了可以在三角形的頂點處、任意邊上任取一點，還可以在平面上（三角形的內部或外部）任取一點（如圖10（2）、圖10（3）），你能證明結論嗎？

生：我知道了，只要構造平行線將3個角轉化為平角，問題即可解決.

教學分析：將證明方法進行拓展，利用平行線將三個角轉移到一個平面內的任意一點處（如圖10），滲透從特殊到一般、分類討論和化歸的思想方法.這些其實是對小學方法的一個理論說明，是對通性通法的研究，促使學生深層次參與，培養學生的思維能力.

1.4應用鞏固，深化理解

練習：

（1）直角三角形的兩個銳角和是多少度？（2）如圖11，已知 ΔABC 中， DE//BC ， ∠A= 60^{° °}，∠C=70^° ，求證： ∠ADE=50^° ：

圖11

圖12

（3）如圖12，在△ABC中， ∠ABC=38^° ∠ACB= 62^°，AD 平分 ∠BAC ，求 ∠ADB 的度數.

（4）如圖13， ∠A=∠D ， ∠ACB=120^° ，求∠DEB 的度數.

教學分析：鞏固三角形內角和定理，檢測學習效果，通過直接應用和變式應用，體會數形結合地分析和解決問題的意義.

圖13

1.5小結提升，形成結構

問題7本節課你有什么收獲？經歷了三角形內角和定理的探究，請思考得出一個數學定理的一般過程.

生：本節課我們證明了三角形內角和定理，在探究的過程中我學習到了經過測量得出內角和的方法并不嚴謹，只有通過證明得出結論才讓人信服.

教師點撥：絕大多數數學定理都有一個發現和提出的過程，然后經過推理論證，證明猜想；也有一些定理是應用已知的定理，通過推理而發現的.

教學分析：數學是研究精神的產物，通過回顧三角形內角和定理發現和證明的探究過程，總結得出定理的一般過程，感受定理誕生的嚴謹性，理解實驗猜想和證明的關系，培養學生的研究精神.

2總結反思

本節課按照猜想、證明、應用的順序展開，經歷知識的發生發展過程，獲得了三角形內角和定理，完善了三角形的認知結構.

2.1注重定理探究過程

基于小學用度量法、拼圖法等探索獲得“三角形內角和是 180^°′′ 的幾何直觀猜想，粗糙的實驗不足憑信，感受證明的必要性，培養學生嚴謹的科學態度.通過聯系平行線模型找到證明所需的輔助線，幫助學生建構探究三角形內角和定理的思維路徑，經歷三角形內角和定理的實驗猜想和證明過程，體驗“從合情推理到演繹推理的\"的研究方法，提升了學生推理能力，培養了研究精神，讓學生知其然，知其所以然，知何由以知其所以然.

2.2注重思想方法滲透

定理探究過程蘊含“從特殊到一般”“數形結合”“轉化與化歸”等數學思想，這對培養學生應用幾何模型解決幾何問題的意識和能力，對數學抽象、邏輯推理和數學運算素養的發展有著重要的意義.

2.3注重幾何證明過程

幾何證明蘊含推理能力和直觀想象能力.定理探究和應用的過程中包含大量的幾何證明過程.在教學過程中培養了學生證明的嚴謹性、邏輯性、幾何語言的規范性等，在分析中培養學生將文字語言、符號語言和圖形語言進行互譯的能力.Z