“兩頂點兩垂線”模型及其應用

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱新課標）指出：能運用反比例函數的知識解決平行四邊形和三角形面積的相關計算，理解反比例函數中“k\"的幾何意義，掌握把不規則的圖形轉化為規則圖形計算面積的方法，能夠運用模型思想解決反比例函數與幾何圖形面積的相關綜合問題，體現數形結合思想，培養空間觀念和解決問題的能力.

1反比例函數“兩頂點兩垂線”模型

1.1模型的基本圖形

“兩頂點兩垂線\"模型的基本圖形，如圖1～圖4.

圖1

圖2

圖3

圖4

1.2模型的基本特征及結論

模型的基本特征是在平面直角坐標系中的反比例函數圖象背景下，幾何圖形（平行四邊形或直角三角形）有兩個頂點在反比例圖象上，有兩條邊與 x 軸或 y 軸分別垂直，用“ k ”值表示幾何圖形的面積.

模型的結論： S_?GABCD=2∣k∣，S_?ΔEFG=2∣k∣

2反比例函數“兩頂點兩垂線”模型的應用

2.1分析已知條件，直接運用模型結論求面積

例1如圖5所示，在平面直角坐標系中，原點 的對角線 HF 在 軸上， HO=FO ，點 E 在第二象限內， EH//x 軸，當反比例函數 的圖象恰巧經過頂點 E 和頂點 G 時，口EFGH的面積為

圖5

解析：由題意知，反比例函數 的圖象恰巧經過頂點 E 和頂點 G .因為 EH// x 軸， x 軸 ⊥y 軸，所以 EH⊥y 軸.因為四邊形 EF- GH 是平行四邊形，所以 EH//FG ，所以 FG⊥y 軸.所以此題的已知條件剛好符合反比例函數“兩頂點兩垂線\"模型的特征，由其結論知， .故填：6.

點撥：由已知可以直接得出該題題設符合“兩頂點”在反比例函數圖象上的特征；由平行四邊形對邊平行的性質和 EH//x 軸，可以推出該題題設符合有兩條邊與 x 軸或 y 軸分別垂直，符合“兩垂線”的特征.于是依據反比例函數“兩頂點兩垂線”模型的結論即可得到所求平行四邊形的面積.需要注意的是，平行四邊形的面積是“ ?_k ”值絕對值的2倍，而非“k”值的2倍.

2.2先證圖形是平行四邊形，再利用模型結論求面積

例2如圖6所示，直線 y=x 與反比例函數 y= 的圖象交于點 I 和 G ，過點 I 作 IH⊥x 軸于點 H ，若GJ //IH （點 J 在 x 軸上）， OH=2 ，試求四邊形 GHIJ 的面積.

解析：因為直線 y=x 是第一、三象限角的平分線，所以 ∠HOI=∠JOG=45^°. 因為反比例函數 的圖象關于原點 o 中心對稱，所以 OI=OG .因為 IH⊥x 軸于點 H，IH//GJ 所以 GJ⊥x 軸于點 J ，則 ∠IHO=∠GJO=90^°

在 ΔIHO 和 ΔGJO 中， ，所以ΔIHO?ΔGJO（AAS） ，所以 IH=GJ

所以，四邊形 GHIJ 是平行四邊形.

在 RtΔHIO 中，因為 ∠HOI=45^° ，所以 ∠HIO= ∠HOI=45^° ，則有 IH=OH=2 ，從而可知點 I 的坐標為 （-2，2） .把點 I 的坐標 （-2，-2） 代入 中，得 k=xy=（-2）×（-2）=4 于是由“兩頂點兩垂線”模型的結論知，

點撥：證明 ΔIHO?ΔGJO 是證明四邊形 GHIJ 是平行四邊形的前提和基礎；證明四邊形 GHIJ 是平行四邊形是利用“兩頂點兩垂線”模型結論求面積的必要條件.

2.3添加輔助線求點的坐標，依據模型結論求面積

例3如圖7所示，直線 x與反比例函數 的圖象分別交于點 A 和 C，AB//y 軸，并且交 x 軸于點 D ，過點 c 作 CB⊥s 軸于點 E .交 AB 于點 B ，若 BD=1 ，則 S_ΔABC 的面積為

解析：因為 AB//y 軸，并且交 x 軸于點 D ，所以AB⊥x 軸，則 ∠BDO=90^°

因為 CB⊥s 軸于點 E ，交 _AB 于點 B ，則 CB⊥AB 于點 B ，所以 ∠B=90^° ；過點 c 作 CF⊥x 軸于點F ，如圖8所示，則 ∠CFD=90^° 所以 ∠BDO=∠B=∠CFD=90^° ，于是四邊形BDFC矩矩形，所以 CF=BD=1 ，從而知點 c 的縱坐標為 y=-1. 因為點 c 在直線 2x上，所以-1= 2x，解得x= 3所

以點 c 的坐標為 .把點 c 的坐標代入 1 （klt;0） 中，得 所以 1因為點 A 和 c 都在反比例函數 的圖象上， ΔABC 的邊 AB，BC 分別與 x 軸和 軸垂直，所以符合“兩頂點兩垂線”由模型結論 S_ΔABC=2∣k∣ ，得 1

點撥：若點在函數圖象上，則點的坐標滿足函數解析式，這是利用已知條件推導點 c 坐標的基礎；由垂直的意義、平行線的判定和性質推出 ΔABC 的頂點所在位置和三角形的邊與坐標軸間的位置關系，是判斷三角形的面積是否可用“兩頂點兩垂線”模型結論計算的關鍵.

2.4由性質求坐標判形狀，依據結論求面積

例4如圖9所示，點 A 在反比例函數 ?kgt;0 ）的圖象上， AB⊥y 軸于點B ， （20 ，將RtΔABO 繞原點 O 旋轉 180^° ，若點 B 的對應點落在 軸上的點B^′ 處，點 A 的對應點落在反比例函數 在第三象限的圖象的點 A^′ 處，連接A^′B 和 AB^′ ，則 ΔABA^′ 的面積為

解析：因為 AB⊥y 軸于點 B ，所以 ∠ABO=90^° 在 RtΔABO 中，由勾股定理得 ，所以點 A 的坐標為 則 ，即 k=5

由旋轉的性質可知， A^′B^′=AB，B，O，B^′≡ 點都在 軸上， ∠A^′B^′O=∠ABO=90^° ，所以 A^′B^′//AB ，從而四邊形 ABA^′B^′ 是平行四邊形.

因為點 A，A^′ 都在反比例函數 的圖象上， AB，A^′B^′ 都垂直于 軸，所以平行四邊形ABA^′B^′ 符合“兩頂點兩垂線”模型特征，其面積可用模型結論表示為

顯然， ΔABA^′ 的面積等于平行四邊形 ABA^′B^′ 面積的一半.

所以，S△ABA' S□ABAB=5.故填：5.

點撥：忽視由已知根據旋轉性質證明四邊形ABA^′B^′ 是平行四邊形，直接用“兩頂點兩垂線”模型基本結論的一半表示 ΔABA^′ 的面積，是本題的易錯點.

上述內容較系統詳盡地介紹了反比例函數背景下“兩頂點兩垂線\"模型的基本圖形，已知條件和基本結論，并對應模型精選了符合新課標要求和數學素質測試命題形式的經典題目，旨在拓展該模型的應用范圍，創造應用模型的機會，提升對模型的認識層次，促使學習者提高在反比例函數條件下應用該模型解決平行四邊形和三角形面積問題的能力，使學習者的數學素養錦上添花，百尺竿頭更進一步.Z