指向初高銜接的初中函數專題解題復習

深人分析近年福建中考數學試題，發現試題關注初高銜接和教學內容的整體把握.尤其是函數模塊，作為初中和高中的重點教學內容之一，具備一定的延續性、階段性和差異性1，因此備受命題者的青睞.其中，二次函數在初中數學中占據了舉足輕重的地位，是中考的重要考點.由于二次函數的圖象是拋物線，因此在中考命題中常常蘊含高中解析幾何中的一些思想方法，從而把初中數學的“數與代數”“圖形幾何\"兩大主題巧妙地結合起來.該類問題綜合性強，學生求解難度較大.

文章以“二次函數中的最值問題”為例，著重探討線段和（周長）的最值、面積最值以及閉區間上的最值等核心問題.文章針對這三種基本類型，系統地分析并探討初高銜接背景下初中函數問題解題策略，以期提高學生的解題能力和數學素養.

1線段和（周長）最值

例1如圖1，拋物線 y= ax²+bx-3（a≠0） 與 x 軸交于點 A（-1，0） ，點 B（3，0） ，與 y 軸交于點 c

（1）求拋物線的表達式；

圖1

（2）在對稱軸上找一點 Q ，使 ΔACQ 的周長最小，求點 Q 的 坐標.

解析：（1）根據拋物線 y=ax²+bx-3（a≠0） 與x 軸交于點 A（-1，0） ，點 B（3，0） ，得

解得 則拋物線解析式為 y=x²-2x-3

（2）因為拋物線的解析式為 y=x²-2x-3= （x-1）²-4 ，與 y 軸交于點 c ，所以拋物線對稱軸為直線 x=1 ，點 c 的坐標為 （0，-3）

如圖2所示，作點 c 關于直線 x=1 的對稱點 E ，連接 AE ，EQ ，則點 E 的坐標為 （2，-3） .由軸對稱的性質，可知 CQ=EQ

圖2

所以 ΔACQ 的周長 =AC+ AQ+CQ ，要使 ΔACQ 的周長最小，則 AQ+CQ 最小，即 AQ+QE 最小，則當 A，Q，E 三點共線時， AQ+QE 最小，設直線 AE 的解析式為 y=k₁x+b₁ ，于是可得到

解得 所以直線 AE 的解析，

式為 y=-x-1 ：

當 x=1 時， y=-1-1=-2 ，所以點 Q 的坐標為 （1，-2）

評析：第（1）問涉及的問題為“求二次函數的解析式”，是初中的課標要求；第（2）問求周長的最值問題，為高中課標重點要求問題，體現了在初高銜接處命制試題.第（1）問利用待定系數法不難解決；第（2）問解決方法是先求出拋物線的對稱軸及點 c 的坐標，作點 c 關于直線 x=1 的對稱點 E ，連接 AE，EQ ，則點 E 的坐標為 （2，-3） ，要使 ΔACQ 的周長最小，則 AQ+ CQ 最小，即 AQ+QE 最小，設直線 AE 的解析式為 y= k₁x+b₁ ，求出直線 AE 的解析式為 y=-x-1 ，當 x= 1時， y=-2 ，即為所求.

變式1如圖3，拋物線 y= ax²+bx+c 過點 ，B（3，0），C（0，3） ：

（1）求拋物線的解析式.

（2）設 P 是第一象限內的拋物線上的一個動點.

圖3

① 當 P 為拋物線的頂點時，求證： ΔPBC 直角三角形；

② 過點 P 作 PN⊥x 軸，垂足為 N，PN 與 BC 交 于點 E 當 的值最大時，求點 P 的坐標.

答案： （1）y=-x²+2x+3

（2） ① 易得點 P（1，4） ，作 PH⊥ 軸于點 H ，如圖4，則 PH= CH=1 ，所以 ∠HCP=45^° ·

又 OB=OC=3 ， ∠OCB= 45^° ，易得 ΔPCB 是直角三角形.

圖4

② 設點 P（x，-x²+2x+3） 1 0

所以 E（x，-x+3） ，則 PE= -x²+3x 又可知 OC=OB=3 BN=3-x . ∠OBC=∠OCB= 45^° ，∠NEB=∠OBC=45^° ，則 ，所以

圖5

所以

故當 時， 有最大值，此時點 P 的坐標為

2面積最值

例2如圖6，過原點的二次函數 y=ax²+bx 的圖象與 x 軸正半軸交于點 A ，經過點 A 的直線與該函數交于 B（1，-3） ，與 軸交于點 C（0，-4）

圖6

（1）分別求此二次函數與直線 AB 的解析式.

（2）點 P 是第四象限內二次函數圖象上的一個動點，過點 P 作直線 PE⊥x 軸于點 E ，與直線 AB 交于點 D ，設點 P 的橫坐標為 t ：

① 當 時，求 Φ_t 的值；

② 當點 P 在直線 AB 下方時，連接 $| O P ＼rrangle$ ，過點 B 作 BQ⊥x 軸于點 Q，BQ 與 OP 交于點 F ，連接 DF ，求四邊形FQED面積的最大值.

解析：（1）直線 AB 的函數表達式為 y=x-4 ，二次函數表達式為 y=x²-4x .（過程略）

（2） ① 依題意點 P（t，t²-4t） ：D（t，t-4），02+4t，DE=-t+4，OE=t， 如圖7，當點 P 在直線 AB 上方時，則PD=DE-PE=t²-5t+4

圖7

又 ，所以 t²-5t+4=2

解得

當點 P 在直線 AB 下方時，有 PD=PE-DE= -t²+5t-4. 所以 -t²+5t-4=2

解得 t₁=2，t₂=3

（20號 綜上， t 的值為2或3或

② 如圖8，由（1）得， OE=t ，PE=-t²+4t，DE=-t+4.

因為 BQ⊥x 軸于點 Q ，交 OP 于點 F ，點 B 的坐標為 （-1，3） ，所以 OQ=1. 因為點 P 在直線 AB 下方，所以 EQ=t-1. 易得 ∠OQF= ∠OEP=90^° ，則 FQ//DE，∠FOQ= ∠POE ，所以 ΔFOQΔPOE

圖8

于是 （204號 所以 FQ=DE ，故四邊形FQED為平行四邊形.

因為 PE⊥x 軸，所以四邊形FQED為矩形，則其面積 S=EQ?FQ=（t-1）（-t+4） ：

所以

又 1 時，S的最大值為

評析：第（1）問利用待定系數法可求得直線 _AB 的函數表達式，再求得點 A 的坐標，將點 A，B 的坐標代入二次函數表達式求出即可；第（2）問滲透了高中的分類整合與數形結合兩大思想方法， ① 分當點 P 在直線 AB 上方和點 P 在直線 AB 下方兩種情況討論，根據 PD=2 列一元二次方程求解即可； ② 證明ΔFOQ～ΔPOE ，推出 FQ=-t+4 ，再證明四邊形FQED為矩形，利用矩形面積公式得到二次函數的表達式，再利用二次函數的性質即可求解.

變式2如圖9，已知直線 y= -x+5 與坐標軸相交于 A，B ，點c 坐標是 （-1，0） ，拋物線經過 A ，B，C 三點.點 P 是拋物線上的一點，過點 P 作 軸的平行線，與直線 _AB 交于點 D ，與 x 軸相交于點（1）求拋物線的解析式.

圖9

（2）當點 P 在第一象限時，連接 CP 交 OA 于點 E ，連接 EF ，如圖10所示.

① 求 AE+DF 的值.

圖10

② 設四邊形 AEFB 的面積為 s ，則點 P 在運動過程中是否存在面積 s 的最大值？若存在，請求出此時點 P 的坐標；若不存在，請說明理由.

略解：（1）拋物線的解析式為 y=-x²+4x+5 （過程略）

（2）設點 P 的坐標為 （m，-m²+4m+5） ，則點D（m，-m+5） ，點 F（m，0） ：

① 在 RtΔCOE 和 RtΔCFP 中，由 tan∠ECO= CF，得OE= ，則 AE= m，DF=-m+5 ，所以 AE+DF=5

② 不存在.理由如下： ，所以對稱軸為

當點 P 在對稱軸左側時， s 隨 Σ_m 的減小而增大，且無限趨近 m=0 時 s 的值；

當點 P 在對稱軸右側時， s 隨 Σ_m 的增大而增大，且無限趨近 m=5 時 s 的值最大.

所以當點 P 在第一象限時，不存在 s 的最大值.

3區間上的最值

例3已知二次函數 y=mx²+2mx+1（m≠0） 0 在 -2?x?2 時有最小值—2，則

解析：因為 y=mx²+2mx+1=m（x+1）²-m+ 1，所以二次函數的對稱軸為直線 x=-1

① 若 mgt;0 ，則拋物線開口向上， -2?x?2 時函數有最小值 -2 ，所以當 x=-1 時，函數取得最小值，郎 1-m+1=-2 ，解得 m=3 .

② 若 mlt;0 ，則拋物線開口向下.因為對稱軸為直

線 x=-1 ，拋物線上的點離對稱軸越遠，函數值越小，

又 -2?x?2 時函數有最小值一2，所以 x=2 時，取

得最小值，即 4m+4m+1=-2 ，解得 ·

綜上， m 的值為3或 ：

評析：二次函數在閉區間上的最值問題是高中二次函數的重要類型，在初中的壓軸題中也頻頻出現，一般有“定軸定區間”“定軸動區間”及“動軸定區間”等問題.本題首先將一般式化為頂點式，求出對稱軸，由于二次函數的二次項系數為參數，開口方向不明確，因此首先分 mgt;0 和 mlt;0 兩種情況討論，分析在不同情況下函數的單調性，后續的求解就不難了.

變式3若點 P（a，b） 是二次函數 y=-（x-m）²+ m²+1 圖象上一點，當 -2?a?1 時， b 的最大值為 4 .則實數 Ψ_m 的值為

略解：拋物線 y=-（x-m）²+m²+1 開口向下，

對稱軸為直線 x=m

① 若 m?-2 ，當 a=-2 時， b=-（-2-m）²+ m²+1=4 ，解得 ：

因為 ，所以 不合題意，故舍去.

② 若 m?1 ，當 a=1 時， b=-（1-m）²+m²+ 1=4 ，解得 m=2 ，符合題意.

③ 若 -2?m?1 ，當 a=m 時， b=m²+1=4 ，解得 或 ，因為 -2?m?1 ，所以 符合題意.

綜上， m=2 或 ：

4教學啟示

為更好提升學生解決初高銜接背景問題的能力，教師可從知識、能力、思想及素養等方面對學生進行適時引導和訓練.

知識方面，關注銜接的持續性.初高中的數學知識應有自然的過渡.如初中二次函數主要是代數方法的學習，而高中則要求掌握數形結合、分類整合等思想方法.教學策略應確保學生在初中階段對基礎知識有扎實的掌握，并逐漸滲透高中思想方法，如在例習題及作業中設計含參的二次函數問題.

能力方面，關注高中的新定義問題.該類問題往往將高中的知識以新定義形式呈現，實質是考查學生的閱讀理解能力.教學中應注重培養學生的閱讀理解、圖形符號分析能力.如通過新定義試題的分析，教師引導學生如何獲取題目中信息，運用已有知識解決問題，并培養學生的邏輯推理和創新思維能力.

思想方面，關注在思想高度的引領方法.在初中教學中應適當融人高中數學思想方法，如數形結合、整體思想、換元法等.這不僅能幫助學生更好地理解數學概念，還能為他們在高中階段的學習打下堅實的思想基礎.

素養方面，注重引導學生積累數學活動經驗.教學中應鼓勵學生積極參與數學活動并有效反思，多去思考解決這個問題為什么可以這么做，還可以怎么做，方法是否具有普適性等，在反思中提升關鍵能力和學科素養.

參考文獻：

[1]毛巾鈞，陳秋曉.指向初高銜接的初中函數解題教學實踐與思考—以2023年無錫中考試題解析為例[J.中學數學雜志，2024（2）：62-65.Z