聚焦核心素養(yǎng) 強(qiáng)化幾何直觀

中考?jí)狠S題決定著整張?jiān)嚲淼膮^(qū)分度，具有較強(qiáng)的思維發(fā)散性，但發(fā)散的源頭往往來自課本例題、習(xí)題.對(duì)中考?jí)狠S題進(jìn)行深入的研究和分析有利于教師對(duì)教材的深度理解，更好地幫助學(xué)生整合知識(shí)、探索規(guī)律、形成方法、獲得經(jīng)驗(yàn)，從而發(fā)展思維，提升素養(yǎng)，達(dá)到融會(huì)貫通、舉一反三的效果.

1試題呈現(xiàn)

（2022年廣州市中考數(shù)學(xué)試題第25題）如圖1所示，在菱形ABCD中， ∠BAD= 120^°，AB=6 ，連接 BD

圖1

（1）求 BD 的長.

（2）點(diǎn) E 為線段 BD 上

一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) B，D 重合），點(diǎn) F 在邊 AD 上，且

① 當(dāng) CE⊥AB 時(shí)，求四邊形ABEF的面積；

② 當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)， CE+ 的值是否也最?。咳绻?，求 的最小值；如果不是，請說明理由.

2試題探究

2.1第（1）問探究

解法1：過點(diǎn) D 作DH⊥AB 交 BA 的延長線于點(diǎn) H ，如圖2，則 ∠DAH= 60^° ， DH=AD ·sin 60^°=

圖2

3，故

解法2：如圖3，連接AC，AC 與 BD 交于點(diǎn) o ，易得 AC⊥BD ， ∠OBA=30^° 則 故 ：

圖3

解法3：在 ΔABD 中，由余弦定理可得 BD²= AB²+AD²-2AB?AD?cos∠DAB ：

故

2.2第（2）問第 ① 小問探究

解法1：如圖4，作 BG⊥AD 交 DA 延長線于點(diǎn) G ，過點(diǎn) E 作EH//BG 交 AD 于點(diǎn) H ：

易得 ∠CDB=30^° . DE=

圖4

于是

又 ，則

故 （20

解法2：延長 CE 交 AB 于點(diǎn) M ，過點(diǎn) F 作 FN⊥AB 交BA 的延長線于點(diǎn) N ，如圖5.易求得 BM=BC?cos60^°=3 ， ，則 DF= 2，于是 AF=4 ，所以 AF?cos60^°=2 易得 MN=5 ，故 ·

圖5

解法3：如圖6，延長 CE 交

AB 于點(diǎn) M ，連接 AE 易求得 ，

圖6

所以 ，則 又 7 則 故 解法4：連接 AC ，易證 ΔABC 是等邊三角形.

如圖6，易知 AE=BE ∠EAB=∠EBA=30^° ∠DEA=60^° ∠EAD=90^°

故

解法5：連接 AC ，易證 ΔABC 是等邊三角形.如圖6，易知 AE=BE ∠EAB=∠EBA=30^° ∠DEA= d0^°，∠EAD=90^°

故 （204號(hào)

解法6：如圖7，作 FH⊥ BD 于點(diǎn) H ，延長 CE 交 AB 于點(diǎn) M 故 S++ABEF=SAB=-

圖7

解法

2.3第（2）問第 ② 小問探究解法1：如圖8，作 BG⊥AD 交 DA 延長線于點(diǎn)G ，過點(diǎn) E 作 EH//BG 交 AD 于點(diǎn) H ：

設(shè) DF=x ，則

圖8

于是

故 當(dāng) x=3 時(shí)，四邊形ABEF的面積取最小值.此時(shí) E 為 BD 的中點(diǎn)，且CE⊥BD，CE 為垂線段最短； F 為 AD 的中點(diǎn)，且CF⊥AD，CF 為垂線段最短.

所以 的值也最小，最小值為12.

解法2：如圖9，以 BD 為邊在BD下方作等邊三角形 BDG （也可以在BD上方作等邊三角形），因?yàn)椤螩DF=∠GBE=60°，GB 所以 ΔCDF～ΔGBE 則 ，即 GE=√3CF.

圖9

當(dāng) C，E，G 三點(diǎn)共線時(shí)， （204號(hào)

故 的最小值為12，此時(shí)易證 ΔCBG? ΔCDG（SSS） ，得出 E 為 BD 的中點(diǎn)，滿足四邊形ABEF的面積取得最小值.

解法3：如圖10，過點(diǎn) D 作 DG⊥CD 且 （或以 AD 為邊向下作等邊三角形， G 為重心），連接 FG ，易得ΔDFG～ΔBEC

圖10

所以 ，則

當(dāng) C，F(xiàn)，G≡ 點(diǎn)共線時(shí)， ，故 CE+ 的最小值為12.

解法4：如圖11，延長 CD 到點(diǎn) G ，使 CG=BD ，作GH//AD 交 CF 延長線于點(diǎn) H ，作 GO⊥CG 且 GO=

AB=6 易得 ΔCDF^° ΔCGH ，則 ΔCBE?ΔOGH ，則 CE=OH

圖11

所以 故 CE+ 的最小值為12.

解法5：如圖12，以點(diǎn) D 為原點(diǎn)， DC 為 x 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則 ， D（0，0） .作 FN⊥y 軸于點(diǎn)N ，作 EM⊥AB 于點(diǎn) M

圖12

設(shè) DF=x ，則 ，

所以

由兩點(diǎn)間距離公式，可得

CE²=3（x-3）²+9，CF²=（x-3）²+27.

于是，可得到 （2 ，當(dāng)且僅當(dāng) x=3 時(shí)， 12，即當(dāng) x=3 時(shí)， 的最小值為12.

解法6：（余弦定理）設(shè) AF=x ，則 DF=6-x ，

在 ΔCDF 中， CF²=6²+（6-x）²-2×6× （6-x）cos60^°=（x-3）²+27

在 ΔCDE 中， cos 30^°=3（x-3）²+9

于是，可得 ，當(dāng)且僅當(dāng) x=3 時(shí)， 12，即 x=3 時(shí) 的最小值為12.

解法7略，可掃碼查看.

3試題特色解讀

3.1回歸教材，考查核心知識(shí)

教材是教學(xué)的根本，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的載體.本題以新人教版八年級(jí)下冊第60頁練習(xí)第5題為題材，以一個(gè)含 120^° 內(nèi)角的菱形為素材，考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形、割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形面積、二次函數(shù)及最值等核心知識(shí)點(diǎn)，也考查了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化思想.起點(diǎn)低、入口寬，立意高，解題方法多樣化，將實(shí)踐操作與推理證明、運(yùn)算相結(jié)合，較好地貫徹了源于教材并高于教材的命題原則.

3.2淡化技巧，考查通性通法

本題非常注重用創(chuàng)新的形式呈現(xiàn)學(xué)生熟悉的知識(shí)點(diǎn)、思想方法.注重通性通法，淡化特殊技巧，強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的深入理解和綜合應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維方式和學(xué)習(xí)能力.同時(shí)，注重解決問題的方法靈活多樣，避免所謂的解題“套路”，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系和本質(zhì).通過尋其根源、究其本質(zhì)，一題多解、殊途同歸，發(fā)現(xiàn)其通性通法和自然解法.綜合第（2）問第 ② 小問探究最值的分析過程，可以發(fā)現(xiàn)一條明晰的圖形性質(zhì)的探究路徑：作圖一計(jì)算一觀察與實(shí)驗(yàn)（特殊位置）一分析與猜想一抽象與概括（一般情況）一推理與論證，從而更有效地提煉出蘊(yùn)含在題中的內(nèi)在的數(shù)學(xué)本質(zhì)[1].

3.3強(qiáng)化幾何直觀，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

幾何直觀主要是利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復(fù)雜的問題簡單化、形象化，有助于學(xué)生探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果.本題通過動(dòng)手實(shí)踐操作進(jìn)行探索，將問題化繁為簡，化抽象為直觀，將教材例題、習(xí)題功能充分挖掘出來，巧鋪改編習(xí)題，讓教學(xué)環(huán)節(jié)找到載體，前后關(guān)聯(lián)，創(chuàng)新地呈現(xiàn)，強(qiáng)化了對(duì)幾何直觀、推理能力、應(yīng)用意識(shí)、運(yùn)算能力、模型思想等核心素養(yǎng)的滲透和考查[2].

4教學(xué)導(dǎo)向分析

4.1立足教材，落實(shí)核心素養(yǎng)

教材例題、習(xí)題是承載著教學(xué)示范和考查功能的主要載體，充分挖掘教材例題、習(xí)題的功能及隱藏在其背后的思想，才能更好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.作為教師，我們要認(rèn)真關(guān)注教材、研讀教材、理解教材和更好地運(yùn)用教材，用好教材中的素材進(jìn)行合理的變式、引申和拓展，進(jìn)行深入的思維拓展教學(xué)，切實(shí)做好用教材教，而不是教教材.

4.2嘗試“一題一課”，加強(qiáng)變式教學(xué)

在幾何專題的復(fù)習(xí)課中，嘗試采取“一題一課”進(jìn)行變式教學(xué).通過有層次有梯度的問題串進(jìn)行一題多解和多解歸一教學(xué)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)?shù)臋M向和縱向拓展，可有效地融合多種思想方法.從原題的深度挖掘到變式的有效拓展，能夠讓學(xué)生由低階思維向高階思維遷移，由發(fā)散思維向聚合性思維轉(zhuǎn)變，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識(shí)，強(qiáng)化邏輯推理能力，進(jìn)而讓學(xué)生跳出題海，極大地提高課堂教學(xué)效率.

4.3加強(qiáng)解題反思，探究問題真諦

在日常教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生深入探究問題的本質(zhì)特征，同類型的題目做完，要進(jìn)行反思?xì)w納，提煉通性，總結(jié)通法.從不同角度研究問題，積累處理障礙的技巧、經(jīng)驗(yàn)和解題失敗的教訓(xùn)，真正做到會(huì)做一題精通一類，探究問題真諦.

5拓展延伸

變式1如圖14，在菱形ABCD 中， ∠BAD=120^°"AB=6 ，連接 BD .點(diǎn) E 為線段 BD 上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) B ！D 重合），點(diǎn) F 在邊 AD 上，且"".問： ①CE+""是否存在最小值？若存在，請求出最小值. ② 當(dāng)BE 為何值時(shí)， BE²+DF²=CE²+CF²

（答案： ① 存在最小值為""）

變式2如圖14，在菱形 ABCD 中， ∠BAD= 120^°，AB=6 ，連接 BD 點(diǎn) E 為線段 BD 上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) B，D 重合），點(diǎn) F 在邊 AD 上，且"

問： CE+2CF 是否存在最小值？若存在，請求出最小值.（答案：存在，最小值為"

變式3如圖14，在菱形ABCD中， ∠BAD= 120^°，AB=6 ，連接 BD .點(diǎn) E 為線段 BD 上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) B，D 重合），點(diǎn) F 在邊 AD 上，且""問：""是否存在最小值？若存在，請求出最小值.（答案：存在最小值為""）

變式4如圖14，在菱形ABCD中， ∠BAD= 120^°，AB=6 ，連接BD.線段 BD 上一動(dòng)點(diǎn) E （不與點(diǎn)B，D 重合）從 B 向 D 以每秒1個(gè)單位長度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)在邊 AD 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) F 從 D 向 A 以每秒""個(gè)單位長度運(yùn)動(dòng).問：""是否存在最小值？若存在，請求出最小值.（答案：存在最小值為12.）

參考文獻(xiàn)：

[1]賀福凱.過程引領(lǐng)方向直觀主導(dǎo)思想[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（26）：43-45.

[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.Z