運用多種幾何模型求線段長度的解法賞析

初中數學幾何題中有很多相似的題型，把它們歸為一類，可以看作一個幾何模型，如手拉手模型、半角模型、一線三等角模型、將軍飲馬模型等，運用這些幾何模型解題，會提高學生的解題速度與解題能力，提高學生學習數學的興趣，下面以一道求線段長度題為例，探討如何運用多種幾何模型實現一題多解，

1原題再現

如圖1，在△ABC中， ∠BAC= 45^°，AD⊥BC 于點 D，BD=2，CD= 3，求 AD 的長.

2解題方法

圖1

下面先依次給出六種常用的幾何模型及其在求解本題中的應用.

（1）12345模型

已知 0^°lt;αlt;45^°，0^°lt;βlt;45^°，α+β=45^° ，若tan α= Jtan 0

拓展形式：若tan ，則tan 業

解法1：設 AD=x ，由 AD⊥BC ，得 tan∠BAD= ， .由 ∠BAD+∠CAD= ∠BAC=45^° 結合12345模型拓展形式可知 則 ，整理得Ax²-5x-6=0 ，解得 x=6 （負值舍去），所以 AD 的長為6.

評注：將 AD 看作為 x ，將 ∠BAD 與 ∠CAD 的正切值都用 x 來表示，利用12345模型的拓展形式得到∠BAD 與 ∠CAD 的正切值之間的關系，從而得到關于 x 的方程，再解方程.

（2）半角模型

正方形中的半角模型，如圖2，在正方形ABCD中，點 M 在 BC 上，點 N 在 CD 上， AE⊥MN ，垂足為 E ，若 ∠MAN=45^° ，則ΔABM?ΔAEM ， ΔADN? ΔAEN ：

圖2

解法2：如圖3，將 ΔABD 沿AB進行翻折，得到 ΔABE ，將ΔACD 沿 AC 進行翻折，得到ΔACG ，則 ∠E=90^° ， ∠G=90^° ，∠EAG=2∠BAC=90^° AE= AD=AG ，延長 EB，GC ，兩線相交于點 F ，則四邊形 AEFG 為正方形.設 AD=x ，由正方形中半角模型知， BF=x-2，CF=x-3. 在 RtΔBFC 中，由 BC²=BF²+CF² ，得 5²=（x-2）²+（x-3）² ，整理得 x²-5x-6=0 ，解得 x=6 （負值舍去），所以AD 的長為6.

圖3

評注：由于 ∠BAC=45^° ，因此將 ΔABD，ΔACD 分別沿 AB，AC 翻折，再進行補形，可以得到正方形中的半角模型.將 AD 看作 x ，利用正方形中的半角模型，將 BF，CF 也用 x 來表示，根據直角三角形中的勾股定理得到關于 x 的方程，再解方程.

（3）一線三垂直全等模型

如圖4，已知 ΔABC 為等腰直角三角形， ∠C 為直角，直線 ξ_l 經過點 c ，若 AD⊥l ，BE⊥l ，垂足分別為 D，E ，則ΔADC?ΔCEB

圖4

解法3：如圖5，過點 B 作 BE⊥AB ，交 AC 的延長線于點 E ，過點 B 作 l//AD ，分別過點 A，E 作AF⊥l，EG⊥l ，垂足分別為 F，G. 由 ∠BAC=45^° ∠ABE=90^° ，得 ∠AEB=45^°=∠BAE ，則 ΔABE 為等腰直角三角形.由 AF⊥l，EG⊥l ，結合一線三垂直全等模型可知 ΔAFB?ΔBGE則 AF=BG=BD=2，FB=GE=AD .延長 AD 交 EG 于點 H ，則有 （20ΔADCΔAHE ，所以業設 AD=x ，則 FB=GE=x AH=AD+DH=AD+BG=x+2HE=GE-GH=GE-BD=x-2.所以""x-2，整理得x2-5x-6=0，解得x=6（負值舍去）.所以 AD 的長為6.

圖5

評注：由于 ∠BAC=45^° ，因此將 ΔABC 補形為以點 B 直角頂點的等腰直角三角形 ABE ，從點 A，E 向過點 B 的直線引垂線，借助一線三垂直全等模型可以構造全等三角形，得到對應邊相等.將 AD 看作 x ，將AH，HE 都用 x 來表示，利用 ΔADC 與 ΔAHE 相似，得到關于 x 的方程，再解方程.

（4）一線三垂直相似模型

如圖6，已知 ΔABC 為直角三角形， ∠C 為直角，直線 l 經過點 c ，若 AD⊥l，BE⊥l ，垂足分別為 D，E ，則 ΔADC～ ΔCEB ：

圖6

解法4：如圖7，過點 A 作直線l//BC ，過點 _B，C 作 BE⊥l，CF⊥l，垂足分別為 E，F ，過點 A 作 AG⊥AC ，交 BE 于點 G ，由一線三垂直相似模型可知 ΔAEG～ΔCFA ，則 由 ∠EBC=∠GAC= ·

圖7

90^° ，知 B，G，A，C 四點共圓，則 ∠BGC=∠BAC= 45^° 又 ∠GBC=90^° ，所以 ΔGBC 為等腰直角三角形，則 GB=BC=5. 設 AD=x ，則 BE=CF=x EG= BE-GB=x-5 ，又 AE=BD=2 . AF=CD=3 ，則 ，整理得 x²-5x-6=0 ，解得 x=6 （負值舍去），所以 AD 的長為6.

評注：將 ΔABC 補形為以 BC 為一邊的矩形，過點 A 作 AC 的垂線，構造一線三垂直相似模型，將 AD 看作 x ，利用四點共圓及三角形相似得到關于 x 的方程，再解方程.

（5）一線三等角相似模型

異側型一線三等角模型，如圖8，已知兩個三角形在直線的異側，點 P 在AB的延長線上， ∠1= ∠2=∠3 ，則 ΔCAPΔPBD

圖8

解法5：如圖9，在DA上截取DE=DB ， DF=DC ，則 ΔBDE ，ΔCDF 均為等腰直角三角形，有∠BED=∠CFD=∠BAC=45^° ，由一線三等角相似模型知 ΔAEB^° ΔCFA ，則 AF，設 AD=x，則

圖9

AE=AD-DE=x-2，AF=AD-DF=x-3. 又 BE= √2BD=2√2，CF=√2CD=3√2，則-2 x-3，整理得 x²-5x-6=0 ，解得 x=6（ 負值舍去），所以 AD 的長為6.

評注：利用一線三等角相似模型，構造相似三角形，將 AD 看作 x ，將 AE，AF 都用 x 來表示，利用三角形相似得到關于 x 的方程，再解方程.

（6）子母型相似三角形模型

已知在 ΔABC 中，點 D 在 BC 邊上，若 ∠BAD= ∠BCA ，則 ΔBAD～ΔBCA解法6：如圖10，延長 DC A至點 E ，使 DE=AD ，則ΔADE 為等腰直角三角形，∠E=45^° 由 ∠BAC=45^° ，得∠BAC=∠E ，又 ∠ABC= B D C E∠EBA ，所以 ΔABCΔEBA ，

則 AE·設 AD= x，則 AB=√AD2+BD2= AE= 又 BC=BD+CD=5 ，則 ，整理得 x⁴-37x²+36=0 ，解得x=6 或 x=1 （顯然 _xgt;3 ，舍去），所以 AD 的長為6.

評注：利用子母型相似三角形模型，構造相似三角形，將 AD 看作 x ，將 AB，AC，AE 都用 x 來表示，利用三角形相似得到關于 x 的方程，再解方程.

一題多解能夠極大地豐富學生的數學知識，提高他們的學習興趣與學習數學的積極性，而掌握大量的數學幾何模型，運用多種幾何模型解題，可以更好地實現一題多解.這樣做不僅能夠更好地提高他們的解題速度、解題能力，而且能夠更好地提高他們的學習興趣，在數學知識的海洋里暢游，感受數學的變化多端、精彩紛呈之美.Z