一道“角平分線”習題的深度學習

深度學習是指在教師的引領下，以挑戰性學習主題為載體，讓學生全身心投人從而得到發展的學習過程.經典習題是引導學生開展深度學習的良好素材，本文中以一道角平分線習題為例，通過一題多解開展深度學習，以拓寬學生思維路徑，促進學生核心素養的形成[1].

1典例呈現

如圖1，在矩形ABCD中，∠B 的角平分線 BE 與 AD 交于點 E，∠BED 的角平分線 EF 與 DC 交于點 F ，若 AB=9 DF=2FC ，則 BC=

圖1

這是一道以矩形為背景構造的幾何問題，考查了矩形性質、等腰直角三角形的性質，相似三角形、勾股定理、解直角三角形等知識，滲透了數形結合、方程思想、轉化思想等數學思想.需要學生從不同角度分析問題，作出相應的輔助線，可以從角平分線的角度，也可以從相似三角形的角度，還可以從“倍半角\"模型的角度突破問題.

2解法呈現

策略一角平分線 + 平行線 $$ 等腰三角形

解法1：角平分線與平行線相結合可得等腰三角形.如圖1，因為四邊形ABCD是矩形，所以 AB= CD=9，∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90^°， 因為 BE 平分 ∠ABC ， AD//BC ，所以 ∠ABE=∠EBC= ∠AEB=45^° ，所以 ΔABE 是等腰直角三角形，于是AB=AE=9. 由勾股定理，得 .延長 BC，EF 相交于點 M ，如圖2，因為 EM 平分 ∠BED，AD// BC ，所以 ∠BEM=∠DEM=∠M=67.5^°. 所以Δ BEM也是一個等腰三角形，其中 因為 AD//BC ，所以△EDF∽△MCF，則

2，即 DE=2CM .設 CM=t ，那么 ED=2t ，所以 BC= AD=9+2t BM=9+3t. 根據 BE=BM ，得 9+3t= ，解得 ，所以

圖2

圖3

解法2：既然角平分線與平行線結合可得等腰三角形，那么也可過點 F 作 AD 的平行線，分別交 BE ，BA于點 M，N ，如圖3.因為 AD⊥AB ，所以 FN⊥ ∣AB .同解法1，得到 ΔABE 是等腰直角三角形，則AB=AE=9 ，于是 .易知△BMN也是等腰直角三角形， BN=MN 因為四邊形NBCF為矩形，所以 NB=FC=3 ，則 ，從而 .因為 EF 平分 ∠BED，AD//BC ，所以可得 ∠BEF= ∠DEF=∠EFM=67.5^°. 所以 ΔEFM 為等腰三角形，可知 .故 ：

解法3：既然角平分線與平行線結合可得等腰三角形，那么也可以過點 F 作 BE 的平行線交 ED 的延長線于點M ，如圖4所示.同解法

圖4

1，可知 AB=AE=9 因為 EF 平分 ∠BED ，所以∠BEF=∠DEF=∠EFM=67.5^° ，從而△EFM為等腰三角形，即 EM=FM 易知 ∠EFD=22.5^° ，所以∠DFM=45^° 所以 ΔDFM 為等腰三角形，其中 DF= DM=6. 由勾股定理，得 ，所以 于是 ，所以 AD=BC=9+

點評：以上三種解法均采用了角平分線的經典處理模型，即“角平分線 + 平行線 $$ 等腰三角形”，我們稱之為“雙平模型”.解法1綜合了相似三角形和方程思想，解法2與解法3主要使用了等腰直角三角形、等腰三角形的判定與性質，口算都可以求解，其中的關鍵是 DF=2CF 的使用，這體現了條件集中原則.它帶給我們的啟示是解題時要盡可能依托題中的已知條件去構造輔助線.其實，也可以過其他頂點作平行線，如過點 A，C，D 都可以實現求解，只不過繁簡程度不同，如下圖5所示.通過運用策略一進行探究，我們發現，平行線與角平分線就是“好兄弟”，它們之間的關系最為密切.

圖5

策略二角平分線 + 角平分線 $$ 垂直

解法4：如圖6，作 ∠AEB 的平分線交 AB 于點 M ，再作MG⊥BE 于點 G .因為 EF 平分∠BED ，所以 ∠MEF=90^° .因為四邊形 ABCD 是矩形，所以∠A=∠D=90^° .根據同角的余角相等，可得 ∠AEM=∠EFD ，所以可得 ΔDEF^° ΔAME ，則有 AE，也即DE= （20號 .設MA=t ，由角平分線的性質，得 AM=MG=t .因為BE 平分 ∠ABC ，所以 ∠ABE=45^° ，則知 ΔBMG 是等腰直角三角形，所以 BG=MG=t ，從而 所以 ，所以 .于是 =6√2-6，所以 BC=AD=AE+ ：

圖6

點評：原圖形中有角平分線，再配上鄰補角的平分線，可得到一組垂直關系，加上原來矩形的兩個直角，構成了“一線三直角”相似，由兩條角平分線構成的模型稱之為“雙分模型”.當“雙分模型”與“雙平模型”結合時，又可以產生如下精妙解答.

解法5：如圖7，作 ∠AEB 的平分線交 _AB 于點M ，交 CB 的延長線于點 N ；再作 NG⊥DA ，交 DA 延長線于點 G ，因為 EF 平分 ∠BED ，所以 ∠NEF=90^° 因為四邊形 ABCD 是矩形，所以 ∠BAD=∠D=90^° 根據同角的余角相等，得 ∠GEN=∠EFD ，所以ΔDEF～ΔGNE ，則可得到 GE，也即DE= （204號.由題意易得 GN=AB=9 .由勾股定理，得 .因為 GD//NC ，所以 ∠GEN=∠NEB= ∠ENB ，所以 ΔBEN 是等腰三角形，其中 NB= .因為四邊形 AGNB 是矩形，所以 AG= ，從而 .于是 ，所以 ：

圖7

3思想感悟

促進深度學習是一個循序漸進的過程，在此過程中，需要教師用問題驅動學生的思維，讓學生尋問題之源，得解題之妙，進而使深度學習得以深化.首先，在例題選擇上，要選擇典例，使問題具有針對性與層次性.其次，要讓學生看到到問題的“源”與“流”，發現問題的本質，實現對問題的深度理解.這就需要教師設計好問題串，如問題中有什么已知條件？由這些條件能想到什么？如何構造等腰直角三角形？如何才能產生直角？對于特殊的角度如何進行轉化？促進學生的思維向深處不斷漫溯.最后，要立足學生的現有經驗，挖掘數學問題包含的數學思想與知識間的本質聯系，讓學生從不同角度、不同層次認識所學知識，進而提升核心素養[2].

參考文獻：

[1杜海洋.圍繞“平分”解法溯源——對一道含角平分線試題多視角解析[J].數理化解題研究，2023（28）：81-83.

[2蔡忠平.再識角平分線探尋一題多解J].初中生學習指導，2022（26）：34-35.Z